sábado, 19 de diciembre de 2015
lunes, 7 de diciembre de 2015
Resolver el sistema de ecuaciones lineales
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiene sistema de ecuaciones lineales, para $k=1$
$$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & & &=&3\\
x & + & ky & + & z &=&3\\
kx& & & - & 3z &=&6\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Si $k$ toma el valor $1$, las dos primeras ecuaciones son idénticas, luego el sistema pedido es equivalente a
$$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & & &=&3\\
x& & & - & 3z &=&6\\
\end{matrix}\right.$$
Es claro que estas dos ecuaciones son independientes, pues una ( cualquiera de las dos ) no puede expresarse como combinación de la otra ( multiplicando por algún número ambos miembros de la misma ), por tanto el rango, $r$, del sistema es $2$, luego el sistema es compatible; y como el número de incógnitas, $n$, es $3$, es indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y, por tanto, con $2$ variables principales.
Eligiendo una de tres variables, pongamos que $z$, como variable secundaria, $\lambda:=z$. Así, $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y &=&3-\lambda\\
x & & &=&6+3\lambda\\
\end{matrix}\right.$$
La segunda ecuación da, directamente, $x$, que es $6+3\lambda$, y sustituyendo éste en la primera ecuación y despejando $y$, llegamos a $y=3-\lambda-(6+3\lambda)$; y, simplificando, $$y=-(3+4\lambda)$$ Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones pedido viene dada por el conjunto de infinitas ternas de números reales $$\{\left(6+3\lambda\,,\,-(3+4\lambda)\,,\,\lambda\right): \lambda \in \mathbb{R}$$ que se pueden interpretar geométricamente como los infinitos puntos de una recta vectorial en el espacio vectorial de dimensión $3$, $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ( o, abreviado, $\mathbb{R}^3$ ). $\square$
$$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & & &=&3\\
x & + & ky & + & z &=&3\\
kx& & & - & 3z &=&6\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Si $k$ toma el valor $1$, las dos primeras ecuaciones son idénticas, luego el sistema pedido es equivalente a
$$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & & &=&3\\
x& & & - & 3z &=&6\\
\end{matrix}\right.$$
Es claro que estas dos ecuaciones son independientes, pues una ( cualquiera de las dos ) no puede expresarse como combinación de la otra ( multiplicando por algún número ambos miembros de la misma ), por tanto el rango, $r$, del sistema es $2$, luego el sistema es compatible; y como el número de incógnitas, $n$, es $3$, es indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y, por tanto, con $2$ variables principales.
Eligiendo una de tres variables, pongamos que $z$, como variable secundaria, $\lambda:=z$. Así, $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y &=&3-\lambda\\
x & & &=&6+3\lambda\\
\end{matrix}\right.$$
La segunda ecuación da, directamente, $x$, que es $6+3\lambda$, y sustituyendo éste en la primera ecuación y despejando $y$, llegamos a $y=3-\lambda-(6+3\lambda)$; y, simplificando, $$y=-(3+4\lambda)$$ Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones pedido viene dada por el conjunto de infinitas ternas de números reales $$\{\left(6+3\lambda\,,\,-(3+4\lambda)\,,\,\lambda\right): \lambda \in \mathbb{R}$$ que se pueden interpretar geométricamente como los infinitos puntos de una recta vectorial en el espacio vectorial de dimensión $3$, $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ( o, abreviado, $\mathbb{R}^3$ ). $\square$
jueves, 3 de diciembre de 2015
Resolver el siguiente ejercicio de programación lineal
ENUNCIADO. Para qué valores de $x$ e $y$ la función $$z\equiv f(x,y) =5x+4y$$ alcanza el máximo y, respectivamente, el mínimo, estando sujeta a las siguientes restricciones: $$\left\{\begin{matrix}
x &- &y &\le &10\\
x &+ &2y &\le &100\\
2x &- &y &\ge &0\\
& & y &\ge &20 \\
& & x &\ge &0 \\
\end{matrix}\right.$$
¿ Cuál es el valor del mínimo ? ¿ Cuál es el valor de máximo ?
SOLUCIÓN.
Escribiendo el sistema de restricciones de la forma
$$\left\{\begin{matrix}
y & \ge &x &- &10\\
y & \le &\dfrac{1}{2}\,x &+ &50\\
& & y &\le &2x \\
& & y &\ge &20 \\
& & x &\ge &0 \\
\end{matrix}\right.$$
vemos que los lados de la región factible están contenidos en las rectas
$$\left\{\begin{matrix}
r_1:&y & = &x &- &10\\
r_2:&y & = &\dfrac{1}{2}\,x &+ &50\\
r_3:&& & y &= &2x \\
r_4:&& & y &= &20 \\
r_5:&& & x &= &0 \\
\end{matrix}\right.$$
Trazando las rectas e interpretando el sentido de las desigualdades, obtenemos la región factible $\mathcal{R}$, que en este caso es cerrada, lo cual garantiza que exista el máximo y el mínimo pedidos.
Despejando $y$ de $z=5x+4y$, obtenemos el haz de rectas paralelas de la función objetivo $$\{\text{r.f.o.}:\,y=-\dfrac{5}{4}x+k:k \in \mathbb{R}\}$$ siendo $k=\dfrac{z}{4}$; con lo cual, es claro que $z$ es máximo ( respectivamente, mínimo ) cuando $k$ ( ordenada en el origen ) lo es; por consiguiente, buscaremos ( gráficamente ) los puntos de de $\mathcal{R}$, donde $k$ toma los valores máximo y mínimo, desplazando una recta representante ( cualquiera de ellas ) del haz ( de rectas de la función objetivo ), paralelamente a sí misma. Así, vemos que el mínimo valor de $k$ lo da el vértice $A$; y el máximo, el vértice $C$. Procedamos a calcular las coordenadas de estos dos vértices.
Teniendo en cuenta que $A$ está en $r_4$ y, también, en $r_3$, $$A:\left\{\begin{matrix}
y =20 \\
y=2x\\
\end{matrix}\right.\rightarrow A(10,20)$$ y, observando que $C$ está en $r_1$ y, también, en $r_2$, $$C:\left\{\begin{matrix}
y =x-10 \\
y=-\dfrac{1}{2}\,x+50\\
\end{matrix}\right.\rightarrow C(40,30)$$
Así, el valor máximo de $z$ es $z_{C}=f(40,30)=5\cdot 40+4\cdot 30= 320$; y el valor mínimo de $z$, $z_{A}=f(10,20)=5\cdot 10+4\cdot 20= 130$ . $\square$
x &- &y &\le &10\\
x &+ &2y &\le &100\\
2x &- &y &\ge &0\\
& & y &\ge &20 \\
& & x &\ge &0 \\
\end{matrix}\right.$$
¿ Cuál es el valor del mínimo ? ¿ Cuál es el valor de máximo ?
SOLUCIÓN.
Escribiendo el sistema de restricciones de la forma
$$\left\{\begin{matrix}
y & \ge &x &- &10\\
y & \le &\dfrac{1}{2}\,x &+ &50\\
& & y &\le &2x \\
& & y &\ge &20 \\
& & x &\ge &0 \\
\end{matrix}\right.$$
vemos que los lados de la región factible están contenidos en las rectas
$$\left\{\begin{matrix}
r_1:&y & = &x &- &10\\
r_2:&y & = &\dfrac{1}{2}\,x &+ &50\\
r_3:&& & y &= &2x \\
r_4:&& & y &= &20 \\
r_5:&& & x &= &0 \\
\end{matrix}\right.$$
Trazando las rectas e interpretando el sentido de las desigualdades, obtenemos la región factible $\mathcal{R}$, que en este caso es cerrada, lo cual garantiza que exista el máximo y el mínimo pedidos.
Teniendo en cuenta que $A$ está en $r_4$ y, también, en $r_3$, $$A:\left\{\begin{matrix}
y =20 \\
y=2x\\
\end{matrix}\right.\rightarrow A(10,20)$$ y, observando que $C$ está en $r_1$ y, también, en $r_2$, $$C:\left\{\begin{matrix}
y =x-10 \\
y=-\dfrac{1}{2}\,x+50\\
\end{matrix}\right.\rightarrow C(40,30)$$
Así, el valor máximo de $z$ es $z_{C}=f(40,30)=5\cdot 40+4\cdot 30= 320$; y el valor mínimo de $z$, $z_{A}=f(10,20)=5\cdot 10+4\cdot 20= 130$ . $\square$
Calcular la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan
ENUNCIADO. Emplear el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de la matriz
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 0 \\
1 & 4 & -1 \\
0 & 2 & 1 \\
\end{array}\right)$$
SOLUCIÓN.
$$(A|I) \overset{\text{operaciones elementales por filas}}{\rightarrow} (I|A^{-1})$$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right) \overset{-3f_2+f_1\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & -11 & 3 & 1 & -3 & 0\\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right) \rightarrow$
$\overset{\frac{11}{2}f_3+f2\rightarrow f_3}{\rightarrow}\left(\begin{array}{ccc|ccc}
3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & -11 & 3 & 1 & -3 & 0\\
0 & 0 & 17/2 & 1 & -3 & 11/2\\
\end{array}\right) \rightarrow$
$\overset{-\frac{17}{6}f_2+f_3\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 187/6 & 0 & -11/6 & 11/2 & 11/2\\
0 & 0 & 17/2 & 1 & -3 & 11/2\\
\end{array}\right) \rightarrow$
$\overset{-\frac{187}{6}f_1+f_2\rightarrow f_1}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
-187/2 & 0 & 0 & -33 & 11/2 & 11/2\\
0 & 187/6 & 0 & -11/6 & 11/2 & 11/2\\
0 & 0 & 17/2 & 1 & -3 & 11/2\\
\end{array}\right) \rightarrow$
$\overset{-\frac{2}{187}f_1\rightarrow f_1;\frac{6}{187}f_2\rightarrow f_2;\frac{2}{17}f_3\rightarrow f_3 }{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 6/17 & -1/17 & -1/17\\
0 & 1 & 0 & -1/17 & 3/17 & 3/17\\
0 & 0 & 1 & 2/17 & -6/17 & 11/17\\
\end{array}\right)$
y, por tanto $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
6/17 & -1/17 & -1/17\\
-1/17 & 3/17 & 3/17\\
2/17 & -6/17 & 11/17\\
\end{array}\right)$$
$\square$
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 0 \\
1 & 4 & -1 \\
0 & 2 & 1 \\
\end{array}\right)$$
SOLUCIÓN.
$$(A|I) \overset{\text{operaciones elementales por filas}}{\rightarrow} (I|A^{-1})$$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right) \overset{-3f_2+f_1\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & -11 & 3 & 1 & -3 & 0\\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right) \rightarrow$
$\overset{\frac{11}{2}f_3+f2\rightarrow f_3}{\rightarrow}\left(\begin{array}{ccc|ccc}
3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & -11 & 3 & 1 & -3 & 0\\
0 & 0 & 17/2 & 1 & -3 & 11/2\\
\end{array}\right) \rightarrow$
$\overset{-\frac{17}{6}f_2+f_3\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 187/6 & 0 & -11/6 & 11/2 & 11/2\\
0 & 0 & 17/2 & 1 & -3 & 11/2\\
\end{array}\right) \rightarrow$
$\overset{-\frac{187}{6}f_1+f_2\rightarrow f_1}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
-187/2 & 0 & 0 & -33 & 11/2 & 11/2\\
0 & 187/6 & 0 & -11/6 & 11/2 & 11/2\\
0 & 0 & 17/2 & 1 & -3 & 11/2\\
\end{array}\right) \rightarrow$
$\overset{-\frac{2}{187}f_1\rightarrow f_1;\frac{6}{187}f_2\rightarrow f_2;\frac{2}{17}f_3\rightarrow f_3 }{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 6/17 & -1/17 & -1/17\\
0 & 1 & 0 & -1/17 & 3/17 & 3/17\\
0 & 0 & 1 & 2/17 & -6/17 & 11/17\\
\end{array}\right)$
y, por tanto $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
6/17 & -1/17 & -1/17\\
-1/17 & 3/17 & 3/17\\
2/17 & -6/17 & 11/17\\
\end{array}\right)$$
$\square$
Resolver el sistema de ecuaciones compatible determinado
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiene sistema de ecuaciones lineales, compatible determinado, eligiendo uno de los siguientes métodos: a) método de Cramer, o bien, b) método de la matriz inversa
$$\left\{\begin{matrix}
3x & + & y & & &=&-1\\
x & + & 4y & - & z &=&2\\
& & 2y & + & z &=&0\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
En primer lugar, escribamos el sistema en forma matricial
$$\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
1& 4 &-1 \\
0& 2 &1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y\\
z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1 \\
2\\
0
\end{pmatrix}$$
Al objeto de que el alumno se detenga en la observación de los pasos a seguir en los dos métodos, se expondrán a continuación sendos desarrollos. No obstante, parece muy razonable ( en un examen ) elegir el método de Cramer, por su comodidad y facilidad.
a) Resolución por el método de Cramer
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}=\dfrac{-8}{17}=-\dfrac{8}{17}$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}=\dfrac{7}{17}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}=\dfrac{-14}{17}=-\dfrac{14}{17}$$
ya que
$$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
3 & 1 & 0\\
1& 4 &-1 \\
0& 2 &1
\end{vmatrix}=17$$
$$\text{det}(A_x)=\begin{vmatrix}
\bf{-1} & 1 & 0\\
\bf{2}& 4 &-1 \\
\bf{0}& 2 &1
\end{vmatrix}=-8$$
$$\text{det}(A-y)=\begin{vmatrix}
3 & \bf{-1} & 0\\
1& \bf{2} &-1 \\
0& \bf{0} &1
\end{vmatrix}=7$$
$$\text{det}(A_z)=\begin{vmatrix}
3 & 1 & \bf{-1}\\
1& 4 &\bf{2} \\
0& 2 &\bf{0}
\end{vmatrix}=-14$$
b) Resolvámoslo, ahora, por el método de la matriz inversa. Denotando por $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, por $X$ la matriz columna de las variables, por $I$ la matriz identidad ( de orden $3$ ), y por $B$ la matriz columna de los términos independientes, podemos escribir el sistema ( en forma matricial ) de la siguiente forma $$AX=B$$
Como el sistema es compatible determinado, sabemos que existe matriz inversa de $A$ ( que es única ). Así, multiplicando por $A^{-1}$, por la izquierda, en cada miembro de la igualdad matricial anterior
$$A^{-1}AX=A^{-1}B$$
luego
$$IX=A^{-1}B$$
y por tanto
$$X=A^{-1}B$$
producto de matrices que llevará al valor de cada una de las variables.
Debemos, pues, determinar la matriz inversa de $A$ para realizar el cálculo anterior, que podemos hacerlo [mediante el método de Gauss-Jordan], o bien, mediante el método de la matriz adjunta. En cualquier caso, la matriz inversa que sale es
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}
\frac{6}{17} & -\frac{1}{17} & -\frac{1}{17}\\
-\frac{1}{17}& \frac{3}{17} &\frac{3}{17} \\
\frac{2}{17}& -\frac{6}{17} & \frac{11}{17}
\end{pmatrix}$$
Con lo cual,
$$\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{6}{17} & -\frac{1}{17} & -\frac{1}{17}\\
-\frac{1}{17}& \frac{3}{17} &\frac{3}{17} \\
\frac{2}{17}& -\frac{6}{17} & \frac{11}{17}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
0\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\frac{8}{17}\\
\frac{7}{17}\\
-\frac{14}{17}\\
\end{pmatrix}$$
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}
3x & + & y & & &=&-1\\
x & + & 4y & - & z &=&2\\
& & 2y & + & z &=&0\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
En primer lugar, escribamos el sistema en forma matricial
$$\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
1& 4 &-1 \\
0& 2 &1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y\\
z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1 \\
2\\
0
\end{pmatrix}$$
Al objeto de que el alumno se detenga en la observación de los pasos a seguir en los dos métodos, se expondrán a continuación sendos desarrollos. No obstante, parece muy razonable ( en un examen ) elegir el método de Cramer, por su comodidad y facilidad.
a) Resolución por el método de Cramer
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}=\dfrac{-8}{17}=-\dfrac{8}{17}$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}=\dfrac{7}{17}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}=\dfrac{-14}{17}=-\dfrac{14}{17}$$
ya que
$$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
3 & 1 & 0\\
1& 4 &-1 \\
0& 2 &1
\end{vmatrix}=17$$
$$\text{det}(A_x)=\begin{vmatrix}
\bf{-1} & 1 & 0\\
\bf{2}& 4 &-1 \\
\bf{0}& 2 &1
\end{vmatrix}=-8$$
$$\text{det}(A-y)=\begin{vmatrix}
3 & \bf{-1} & 0\\
1& \bf{2} &-1 \\
0& \bf{0} &1
\end{vmatrix}=7$$
$$\text{det}(A_z)=\begin{vmatrix}
3 & 1 & \bf{-1}\\
1& 4 &\bf{2} \\
0& 2 &\bf{0}
\end{vmatrix}=-14$$
b) Resolvámoslo, ahora, por el método de la matriz inversa. Denotando por $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, por $X$ la matriz columna de las variables, por $I$ la matriz identidad ( de orden $3$ ), y por $B$ la matriz columna de los términos independientes, podemos escribir el sistema ( en forma matricial ) de la siguiente forma $$AX=B$$
Como el sistema es compatible determinado, sabemos que existe matriz inversa de $A$ ( que es única ). Así, multiplicando por $A^{-1}$, por la izquierda, en cada miembro de la igualdad matricial anterior
$$A^{-1}AX=A^{-1}B$$
luego
$$IX=A^{-1}B$$
y por tanto
$$X=A^{-1}B$$
producto de matrices que llevará al valor de cada una de las variables.
Debemos, pues, determinar la matriz inversa de $A$ para realizar el cálculo anterior, que podemos hacerlo [mediante el método de Gauss-Jordan], o bien, mediante el método de la matriz adjunta. En cualquier caso, la matriz inversa que sale es
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}
\frac{6}{17} & -\frac{1}{17} & -\frac{1}{17}\\
-\frac{1}{17}& \frac{3}{17} &\frac{3}{17} \\
\frac{2}{17}& -\frac{6}{17} & \frac{11}{17}
\end{pmatrix}$$
Con lo cual,
$$\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{6}{17} & -\frac{1}{17} & -\frac{1}{17}\\
-\frac{1}{17}& \frac{3}{17} &\frac{3}{17} \\
\frac{2}{17}& -\frac{6}{17} & \frac{11}{17}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
0\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\frac{8}{17}\\
\frac{7}{17}\\
-\frac{14}{17}\\
\end{pmatrix}$$
$\square$
Plantear y resolver
ENUNCIADO. Un agricultor tiene repartidas sus $10$ hectáreas en terreno de barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa $2$ hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene $6$ hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿ Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho ?.
SOLUCIÓN.
Llamando $x$ a la superficie en barbecho; $y$, a la superficie cultivada de trigo; y, $z$, a la de cebada
$$\left\{\begin{matrix}
x +y+z=10\\
y=z+2\\
x=(y+z)-6
\end{matrix}\right.$$
Ordenando las ecuaciones
$$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&10 \\
& &y&-&z&=&2 \\
x &- &y&-&z&=&-6 \\
\end{matrix}\right. \overset{e_3-e_1\rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&10 \\
& &y&-&z&=&2 \\
& &2y&+&2z&=&16 \\
\end{matrix}\right. \overset{\frac{1}{2}\,e_3\rightarrow e_3}{\sim}$$
$$ \sim \left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&10 \\
& &y&-&z&=&2 \\
& &y&+&z&=&8 \\
\end{matrix}\right. \overset{e_3-e_2\rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&10 \\
& &y&-&z&=&2 \\
& &&&2z&=&6 \\
\end{matrix}\right. \sim $$
$$\overset{\frac{1}{2}\,e_3\rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&10 \\
& &y&-&z&=&2 \\
& &&&z&=&3 \\
\end{matrix}\right.$$
Así, pues, $z=3$ hectáreas. Sustituyendo el valor que hemos encontrado para $z$ en la segunda ecuación, $y-3=2$, luego $y=5$ hectáreas. Y, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, $x+5+3=10$, luego $x=2$ hectareas.
$\square$
SOLUCIÓN.
Llamando $x$ a la superficie en barbecho; $y$, a la superficie cultivada de trigo; y, $z$, a la de cebada
$$\left\{\begin{matrix}
x +y+z=10\\
y=z+2\\
x=(y+z)-6
\end{matrix}\right.$$
Ordenando las ecuaciones
$$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&10 \\
& &y&-&z&=&2 \\
x &- &y&-&z&=&-6 \\
\end{matrix}\right. \overset{e_3-e_1\rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&10 \\
& &y&-&z&=&2 \\
& &2y&+&2z&=&16 \\
\end{matrix}\right. \overset{\frac{1}{2}\,e_3\rightarrow e_3}{\sim}$$
$$ \sim \left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&10 \\
& &y&-&z&=&2 \\
& &y&+&z&=&8 \\
\end{matrix}\right. \overset{e_3-e_2\rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&10 \\
& &y&-&z&=&2 \\
& &&&2z&=&6 \\
\end{matrix}\right. \sim $$
$$\overset{\frac{1}{2}\,e_3\rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&10 \\
& &y&-&z&=&2 \\
& &&&z&=&3 \\
\end{matrix}\right.$$
Así, pues, $z=3$ hectáreas. Sustituyendo el valor que hemos encontrado para $z$ en la segunda ecuación, $y-3=2$, luego $y=5$ hectáreas. Y, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, $x+5+3=10$, luego $x=2$ hectareas.
$\square$
miércoles, 2 de diciembre de 2015
Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales ...
ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependientes del parámetro $k$
$$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
x & + & ky & + & z &=&3\\
kx & & & - & 3z &=&6\\
\end{matrix}\right.$$
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de $k$
b) Resuélvase el sistema para $k=3$
SOLUCIÓN.
a)
Vamos a estudiar los rangos de la matriz de los coeficientes $$A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1& k &1 \\
k& 0 &-3
\end{pmatrix}$$
y de la matriz ampliada
$$
A^*=
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
1& k &1 & 3\\
k& 0 &-3 & 6
\end{array}\right) $$
Para ello emplearemos el método de los menores ( el rango de una matriz es igual al orden del mayor menor no nulo ).
El menor de mayor orden de $A$ es
$$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
1& k &1 \\
k& 0 &-3
\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow -k^2-2k+3=0 \Leftrightarrow k=\left\{\begin{matrix}
-3 \\
\text{ó}\\
1
\end{matrix}\right.$$
Por tanto, $\text{rg}(A)=3$ si $k \notin \{-3\,,\,1\}$
Examinemos, ahora, la matriz $A^*$. Y, por ello, veamos si hay algún menor de orden $2$ no nulo. Observemos que el determinante de la submatriz $\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
-3& 6 \\
\end{pmatrix} \neq 0$, luego podemos asegurar que el rango de $A^*$ es, al menos, $2$. A continuación, vamos a orlar dicha submatriz para estudiar para qué valores de $k$ las submatrices de un orden mayor ( esto es, de orden $3$ ) que aparecen como amplicación de la matriz ( de orden $2$ ) que hemos tomado como referencia, y calculemos sus determinantes. Nos salen solamente estos dos:
$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 3\\
1& 1 &3 \\
k& -3 & 6
\end{vmatrix}=0 \; \text{, por ser iguales sus dos primeras filas}$
y
$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 3\\
k& 1 &3 \\
0& -3 & 6
\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow k=1$
Entonces, $\text{rg}(A^*)=3$ si $k \neq 1$
Con esta información recogida, podemos distinguir los siguientes casos ( teorema de Rouché-Fröbenius ):
I) Si $k=-3$, $\text{rg}(A)=2 \neq \text{rg}(A^*)=3$, luego el sistema es incompatible.
II ) Si $k=1$, $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=2$, luego el sistema es compatible. Y, como el valor del rango, $r$, es menor que el número de incógnitas, $n$ ( que es $3$ ), el sistema es compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria ( y $2$ variables principales). NOTA: Este caso lo detectamos a "simple vista", sin necesidad de entrar en el análisis con matrices, pues si $k=1$ la segunda ecuación es idéntica a la primera y, por tanto, el rango del sistema de ecuaciones, $r$, del sistema es $2$. Y, si bien, no se pida, puede el lector leer la solución ( para este caso ) siguiendo [ este enlace ]
III ) Si $k \notin \{-3\,,\,1\}$, entonces $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3=n$, luego el sistema es compatible determinado.
OBSERVACIÓN. Para realizar el estudio de rangos, en lugar de utilizar el método de los menores, también podemos emplear el método de reducción de Gauss ( dada una matriz, una vez reducida por Gauss una matriz ( forma escalonada ), el rango de la misma es igual al número de filas no idénticamente nulas ). Partimos de la matriz ampliada
$$A^*=
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
1& k &1 & 3\\
k& 0 &-3 & 6
\end{array}\right) $$
que, mediante operaciones elementales por filas, vamos reduciendo a su forma escalonada, obteniendo las sucesivas matrices equivalentes en rango en el proceso de escalonamiento. Así, mediante $f_1-f_2 \rightarrow f_2$ y $-kf_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a la primera etapa
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 1-k &0 & 0\\
0& 0 &-k-3 & -3k+6
\end{array}\right) $$
ahora, mediante la $\dfrac{1}{k^2}\,f_2+(1-k)\,f_3 \rightarrow f_3$ ( con $k\neq 0$ )
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 1-k &0 & 0\\
0& 0 &-(k+3)(1-k) & -3(k-2)(1-k)
\end{array}\right) $$
y mediante $f_3 \rightarrow \dfrac{1}{1-k}\,f_3$, completamos la segunda etapa y obtenemos la matriz escalonada
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 1-k &0 & 0\\
0& 0 &-(k+3)& -3(k-2)
\end{array}\right) $$
Entonces,
I) Si $k=-3$, la matriz $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0& 4 &0 \\
0& 0 & 0
\end{pmatrix}$ tiene rango igual a $2$, pues, reducida por Gauss, el número de filas no nulas es $2$, mientras que la matriz ampliada $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 4 &0 & 0\\
0& 0 & 0 & 15
\end{array}\right) $ tiene $3$ filas no nulas, y, por tanto, su rango es igual a $3$. Por tanto, como los rangos de $A$ y $A^*$ no coinciden, el sistema es incompatible para este valor de $k$
II ) Si $k=1$, , la matriz $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0& 0 &0 \\
0& 0 & -4
\end{pmatrix}$ tiene rango igual a $2$, pues, reducida por Gauss, el número de filas no nulas es $2$; por otra parte, la matriz ampliada $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 0 &0 & 0\\
0& 0 & -4 & 3
\end{array}\right) $ tiene $2$ fila no nulas, y, por tanto, su rango es, también, igual a $2$. Por tanto, como los rangos de $A$ y $A^*$ coinciden, el rango del sistema de ecuaciones es $r=2 < n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variables secundaria ( y $2$ variables principales ). III ) Si $k \notin \{-3\,,\,1\}$, entonces el número de filas no nulas, tanto de $A$ como de $A^*$, es $3$. Por consiguiente, el rango del sistema de ecuaciones $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3=n$, luego el sistema es compatible determinado.
-oOo-
b) Si $k=3$ ( estamos en el caso II ), el sistema es compatible determinado. Vamos a resolver el sistema ( para este valor de $k$ ) por el método de reducción de Gauss ( si bien podemos elegir cualquier otro método: el de Cramer, o el de la matriz inversa, aunque en este caso se recomienda, por su simplicidad, el m. de Gauss ). Entonces, para $k=3$, el sistema queda
$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
x & + & 3y & + & z &=&3\\
3x & & & - & 3z &=&6\\
\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
x & + & 3y & + & z &=&3\\
x & & & - & z &=&2\\
\end{matrix}\right. $
Restando, miembro a miembro, la segunda ecuación de la primera obtenemos una ecuación equivalente a la segunda; y restando, miembro a miembro, la tercera ecuación de la primera llegamos a una ecuación equivalente a la tercera, con lo cual el siguiente sistema es equivalente al anterior
$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
& + & 2y & & &=&0\\
& & -y & - & 2z &=&-1\\
\end{matrix}\right. $
De la segunda ecuación, se obtiene $y=0$. Para obtener el valor de las otras dos variables, sustituimos el valor obtenido ( para $y$ ) en la primera y tercera ecuaciones, llegando a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$\left\{\begin{matrix}
x & + & 0 & + & z &=&3\\
& & & - & 2z &=&-1\\
\end{matrix}\right. $
Así, de la segunda ecuación, vemos que $z=\dfrac{1}{2}$. Y, sustituyendo en la primera, $x+\dfrac{1}{2}=3$; con lo cual, $x=\dfrac{5}{2}$
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
x & + & ky & + & z &=&3\\
kx & & & - & 3z &=&6\\
\end{matrix}\right.$$
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de $k$
b) Resuélvase el sistema para $k=3$
SOLUCIÓN.
a)
Vamos a estudiar los rangos de la matriz de los coeficientes $$A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1& k &1 \\
k& 0 &-3
\end{pmatrix}$$
y de la matriz ampliada
$$
A^*=
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
1& k &1 & 3\\
k& 0 &-3 & 6
\end{array}\right) $$
Para ello emplearemos el método de los menores ( el rango de una matriz es igual al orden del mayor menor no nulo ).
El menor de mayor orden de $A$ es
$$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
1& k &1 \\
k& 0 &-3
\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow -k^2-2k+3=0 \Leftrightarrow k=\left\{\begin{matrix}
-3 \\
\text{ó}\\
1
\end{matrix}\right.$$
Por tanto, $\text{rg}(A)=3$ si $k \notin \{-3\,,\,1\}$
Examinemos, ahora, la matriz $A^*$. Y, por ello, veamos si hay algún menor de orden $2$ no nulo. Observemos que el determinante de la submatriz $\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
-3& 6 \\
\end{pmatrix} \neq 0$, luego podemos asegurar que el rango de $A^*$ es, al menos, $2$. A continuación, vamos a orlar dicha submatriz para estudiar para qué valores de $k$ las submatrices de un orden mayor ( esto es, de orden $3$ ) que aparecen como amplicación de la matriz ( de orden $2$ ) que hemos tomado como referencia, y calculemos sus determinantes. Nos salen solamente estos dos:
$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 3\\
1& 1 &3 \\
k& -3 & 6
\end{vmatrix}=0 \; \text{, por ser iguales sus dos primeras filas}$
y
$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 3\\
k& 1 &3 \\
0& -3 & 6
\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow k=1$
Entonces, $\text{rg}(A^*)=3$ si $k \neq 1$
Con esta información recogida, podemos distinguir los siguientes casos ( teorema de Rouché-Fröbenius ):
I) Si $k=-3$, $\text{rg}(A)=2 \neq \text{rg}(A^*)=3$, luego el sistema es incompatible.
II ) Si $k=1$, $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=2$, luego el sistema es compatible. Y, como el valor del rango, $r$, es menor que el número de incógnitas, $n$ ( que es $3$ ), el sistema es compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria ( y $2$ variables principales). NOTA: Este caso lo detectamos a "simple vista", sin necesidad de entrar en el análisis con matrices, pues si $k=1$ la segunda ecuación es idéntica a la primera y, por tanto, el rango del sistema de ecuaciones, $r$, del sistema es $2$. Y, si bien, no se pida, puede el lector leer la solución ( para este caso ) siguiendo [ este enlace ]
III ) Si $k \notin \{-3\,,\,1\}$, entonces $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3=n$, luego el sistema es compatible determinado.
OBSERVACIÓN. Para realizar el estudio de rangos, en lugar de utilizar el método de los menores, también podemos emplear el método de reducción de Gauss ( dada una matriz, una vez reducida por Gauss una matriz ( forma escalonada ), el rango de la misma es igual al número de filas no idénticamente nulas ). Partimos de la matriz ampliada
$$A^*=
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
1& k &1 & 3\\
k& 0 &-3 & 6
\end{array}\right) $$
que, mediante operaciones elementales por filas, vamos reduciendo a su forma escalonada, obteniendo las sucesivas matrices equivalentes en rango en el proceso de escalonamiento. Así, mediante $f_1-f_2 \rightarrow f_2$ y $-kf_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a la primera etapa
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 1-k &0 & 0\\
0& 0 &-k-3 & -3k+6
\end{array}\right) $$
ahora, mediante la $\dfrac{1}{k^2}\,f_2+(1-k)\,f_3 \rightarrow f_3$ ( con $k\neq 0$ )
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 1-k &0 & 0\\
0& 0 &-(k+3)(1-k) & -3(k-2)(1-k)
\end{array}\right) $$
y mediante $f_3 \rightarrow \dfrac{1}{1-k}\,f_3$, completamos la segunda etapa y obtenemos la matriz escalonada
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 1-k &0 & 0\\
0& 0 &-(k+3)& -3(k-2)
\end{array}\right) $$
Entonces,
I) Si $k=-3$, la matriz $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0& 4 &0 \\
0& 0 & 0
\end{pmatrix}$ tiene rango igual a $2$, pues, reducida por Gauss, el número de filas no nulas es $2$, mientras que la matriz ampliada $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 4 &0 & 0\\
0& 0 & 0 & 15
\end{array}\right) $ tiene $3$ filas no nulas, y, por tanto, su rango es igual a $3$. Por tanto, como los rangos de $A$ y $A^*$ no coinciden, el sistema es incompatible para este valor de $k$
II ) Si $k=1$, , la matriz $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0& 0 &0 \\
0& 0 & -4
\end{pmatrix}$ tiene rango igual a $2$, pues, reducida por Gauss, el número de filas no nulas es $2$; por otra parte, la matriz ampliada $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 0 &0 & 0\\
0& 0 & -4 & 3
\end{array}\right) $ tiene $2$ fila no nulas, y, por tanto, su rango es, también, igual a $2$. Por tanto, como los rangos de $A$ y $A^*$ coinciden, el rango del sistema de ecuaciones es $r=2 < n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variables secundaria ( y $2$ variables principales ). III ) Si $k \notin \{-3\,,\,1\}$, entonces el número de filas no nulas, tanto de $A$ como de $A^*$, es $3$. Por consiguiente, el rango del sistema de ecuaciones $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3=n$, luego el sistema es compatible determinado.
-oOo-
b) Si $k=3$ ( estamos en el caso II ), el sistema es compatible determinado. Vamos a resolver el sistema ( para este valor de $k$ ) por el método de reducción de Gauss ( si bien podemos elegir cualquier otro método: el de Cramer, o el de la matriz inversa, aunque en este caso se recomienda, por su simplicidad, el m. de Gauss ). Entonces, para $k=3$, el sistema queda
$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
x & + & 3y & + & z &=&3\\
3x & & & - & 3z &=&6\\
\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
x & + & 3y & + & z &=&3\\
x & & & - & z &=&2\\
\end{matrix}\right. $
Restando, miembro a miembro, la segunda ecuación de la primera obtenemos una ecuación equivalente a la segunda; y restando, miembro a miembro, la tercera ecuación de la primera llegamos a una ecuación equivalente a la tercera, con lo cual el siguiente sistema es equivalente al anterior
$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
& + & 2y & & &=&0\\
& & -y & - & 2z &=&-1\\
\end{matrix}\right. $
De la segunda ecuación, se obtiene $y=0$. Para obtener el valor de las otras dos variables, sustituimos el valor obtenido ( para $y$ ) en la primera y tercera ecuaciones, llegando a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$\left\{\begin{matrix}
x & + & 0 & + & z &=&3\\
& & & - & 2z &=&-1\\
\end{matrix}\right. $
Así, de la segunda ecuación, vemos que $z=\dfrac{1}{2}$. Y, sustituyendo en la primera, $x+\dfrac{1}{2}=3$; con lo cual, $x=\dfrac{5}{2}$
$\square$
martes, 27 de octubre de 2015
Resolver la ecuación
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$\begin{vmatrix}x&1&1 &1\\1&x&1&1\\1&1&x&1\\1&1 &1&x\end{vmatrix}=0$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
[autoría]
domingo, 25 de octubre de 2015
Resolver por el método de Cramer
ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema compatible determinado, empleando el método de Cramer
$$\left\{\begin{matrix}
x&-&y&+z&=&1 \\
&&y&-z&=&0 \\
-x&+&y&+z&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Expresemos el sistema en forma matricial $$AX=B$$ donde $$A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$
$$X=\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \end{pmatrix}$$
y
$$X=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}$$
Entonces, aplicando el método de Cramer:
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}$$
donde $$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=2$$
$$\text{det}(A_x)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}=1$$
$$\text{det}(A_y)=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=1$$
y
$$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0
\end{vmatrix}=1$$
Por tanto
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}=1$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}
x&-&y&+z&=&1 \\
&&y&-z&=&0 \\
-x&+&y&+z&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Expresemos el sistema en forma matricial $$AX=B$$ donde $$A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$
$$X=\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \end{pmatrix}$$
y
$$X=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}$$
Entonces, aplicando el método de Cramer:
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}$$
donde $$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=2$$
$$\text{det}(A_x)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}=1$$
$$\text{det}(A_y)=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=1$$
y
$$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0
\end{vmatrix}=1$$
Por tanto
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}=1$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$
$\square$
[autoría]
Resolver la siguiente ecuación matricial
ENUNCIADO. Determínese la matriz $X$ tal que $$\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}\,X\,=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}\,X$$
SOLUCIÓN.
Observemos ( para que sea posible realizar las operaciones que figuran en la ecuación ) que la matriz $X$ debe ser una matriz $2 \times 2$.
Denotemos las matrices de la siguiente forma:
$$A:=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}$$
$$B:=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$$
$$C:=\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}$$
Así, podemos escribir la ecuación pedida de manera que sea más cómodo realizar los pasos de resolución de la misma: $$AX=B-CX$$
Entonces,
$AX+CX=B-CX+CX$
$AX+CX=B-O$
$(A+C)X=B$
Designemos $D:=A+C=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}$, con lo cual
$DX=B$
Ahora, como $\det{D}=1 \neq 0$, $D$ tiene matriz inversa, podemos multiplicar ambos miembros del último paso por la inversa de $D$ ( por la izquierda ):
$D^{-1}DX=D^{-1}B$
$I_{2}X=D^{-1}B$ ( siendo $I_2$ la matriz identidad )
$X=D^{-1}B$
Toca, pues, calcular $D^{-1}$; para ello, podemos emplear el método de la matriz inversa o bien el método de Gauss-Jordan. Vamos a hacerlo por el primer método $$(D|I) \overset{\text{operaciones elementales por filas}}{\rightarrow} (I|D^{-1})$$
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 1 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right) \overset{-3f_1+4f_2 \rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right) \overset{-f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 0 & 4 & -4 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{4}\,f_2 \rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right)$$
luego $$D^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}$$
Por lo tanto $$X=D^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-4\\-2&16\end{pmatrix}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Observemos ( para que sea posible realizar las operaciones que figuran en la ecuación ) que la matriz $X$ debe ser una matriz $2 \times 2$.
Denotemos las matrices de la siguiente forma:
$$A:=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}$$
$$B:=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$$
$$C:=\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}$$
Así, podemos escribir la ecuación pedida de manera que sea más cómodo realizar los pasos de resolución de la misma: $$AX=B-CX$$
Entonces,
$AX+CX=B-CX+CX$
$AX+CX=B-O$
$(A+C)X=B$
Designemos $D:=A+C=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}$, con lo cual
$DX=B$
Ahora, como $\det{D}=1 \neq 0$, $D$ tiene matriz inversa, podemos multiplicar ambos miembros del último paso por la inversa de $D$ ( por la izquierda ):
$D^{-1}DX=D^{-1}B$
$I_{2}X=D^{-1}B$ ( siendo $I_2$ la matriz identidad )
$X=D^{-1}B$
Toca, pues, calcular $D^{-1}$; para ello, podemos emplear el método de la matriz inversa o bien el método de Gauss-Jordan. Vamos a hacerlo por el primer método $$(D|I) \overset{\text{operaciones elementales por filas}}{\rightarrow} (I|D^{-1})$$
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 1 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right) \overset{-3f_1+4f_2 \rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right) \overset{-f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 0 & 4 & -4 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{4}\,f_2 \rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right)$$
luego $$D^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}$$
Por lo tanto $$X=D^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-4\\-2&16\end{pmatrix}$$
$\square$
[autoría]
Resolver la siguiente ecuación ...
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$\begin{vmatrix}1&1 &1\\1&x&1\\1&1 &x^2\end{vmatrix}=0$$
SOLUCIÓN. $$\begin{vmatrix}1&1 &1\\1&x&1\\1&1 &x^2\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow x^3-x^2-x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)^2\,(x+1)=0$$ luego las solución de la ecuación ( las raíces del polinomio ) viene dada por $\{-1\,,\,1\}$
$\square$
SOLUCIÓN. $$\begin{vmatrix}1&1 &1\\1&x&1\\1&1 &x^2\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow x^3-x^2-x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)^2\,(x+1)=0$$ luego las solución de la ecuación ( las raíces del polinomio ) viene dada por $\{-1\,,\,1\}$
$\square$
[autoría]
Algunas cuestiones sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices
ENUNCIADO. Responder dando los argumentos necesarios:
(1) Considérese un sistema de $3$ ecuaciones con $n=3$ incógnitas; compatible indeterminado, con $2$ variables secundarias. ¿ Cuál es el rango, $r$, del sistema ? ¿ Qué interpretación geométrica tienen las infinitas ternas de números que constituyen la solución del mismo ?
(2) ¿ A qué matriz es igual la matriz $(A^t)^{t}-A$ ?
(3) ¿ Puede ser incompatible un sistema homogéneo ?
SOLUCIÓN.
(1) Teniendo en cuenta que $n-r=$número de variables secundarias $$3-r=2 \Leftrightarrow r=1$$
(2) $(A^t)^t=A$, luego $(A^t)^{t}-A=A-A=O$ ( matriz nula )
(3) En un sistema homogéneo se tiene, por lo menos, la solución trivial ( $x=0$, $y=0$, $z=0$ ), por consiguiente no puede ser incompatible. Otra justificació válida: Como en un sistema homogéneo el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, por el Teorema de Rouché-Fröbenius, podemos afirmar que es compatible.
$\square$
(1) Considérese un sistema de $3$ ecuaciones con $n=3$ incógnitas; compatible indeterminado, con $2$ variables secundarias. ¿ Cuál es el rango, $r$, del sistema ? ¿ Qué interpretación geométrica tienen las infinitas ternas de números que constituyen la solución del mismo ?
(2) ¿ A qué matriz es igual la matriz $(A^t)^{t}-A$ ?
(3) ¿ Puede ser incompatible un sistema homogéneo ?
SOLUCIÓN.
(1) Teniendo en cuenta que $n-r=$número de variables secundarias $$3-r=2 \Leftrightarrow r=1$$
(2) $(A^t)^t=A$, luego $(A^t)^{t}-A=A-A=O$ ( matriz nula )
(3) En un sistema homogéneo se tiene, por lo menos, la solución trivial ( $x=0$, $y=0$, $z=0$ ), por consiguiente no puede ser incompatible. Otra justificació válida: Como en un sistema homogéneo el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, por el Teorema de Rouché-Fröbenius, podemos afirmar que es compatible.
$\square$
[autoría]
Discutir y resolver el sistema de ecuaciones
ENUNCIADO. Estudiar en función de los valores del parámetro $k$ y resolver ( en los casos que proceda ) el siguiente sistema de ecuaciones
$$\left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Procedemos a reducir el sistema por Gauss
$\left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right. \quad \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\quad , \quad 2e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$
$ \sim \left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ & & (k+1)\,y&+&2z&=&0\\ & & (2k+1)y&+&2\,(k+1)\,z&=&0\\ \end{matrix}\right. \sim $
$ \sim \left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&(k+1)\,y&=&0\\ & & 2\,(k+1)z&+&(2k+1)\,y&&=&0\\ \end{matrix}\right.\quad \overset{-(k+1)\,e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $
$\left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&(k+1)\,y&=&0\\ & & &&-k^2\,y&&=&0\\ \end{matrix}\right.$
Con esto vemos que el rango del sistema ( número de ecuaciones linealmente independientes ), $r$, es:
I) Si $k=0$, $r=2\prec n=3$ ( $n$ denota el número de variables del sistema ) con lo cual el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria
II) Si $k \neq 0$, $r=3=n$ y, por tanto, el sistema es compatible determinado.
-oOo-
Procedemos, ahora, a resolver el sistema en los dos casos:
I) Con $k=0$, el sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&y&=&0\\ \end{matrix}\right.$$ Escogiendo $y$ como variable secundaria, asignamos $\lambda:=-y$, con lo cual el sistema a resolver es $$\left\{\begin{matrix}x & +& z&=&\lambda\\ & & 2\,z&=&\lambda\\ \end{matrix}\right. \quad \sim \quad \left\{\begin{matrix}x & & &=&\dfrac{\lambda}{2}\\ & & z&=&\dfrac{\lambda}{2}\\ \end{matrix}\right. $$ Así, pues, la solución viene dada en este caso por las infinitas $3$-tuplas $$\{(x,y,z)=\left(\dfrac{\lambda}{2}\,,\,-\lambda\,,\,\dfrac{\lambda}{2}\right):\;\lambda \in \mathbb{R}\}$$ entre las cuales se cuenta la solución trivial $(x,y,z)=(0,0,0)$.
II) Con $k=0$, la solución es la trivial, y está formada únicamente por la $3$-tupla: $(x,y,z)=(0,0,0)$
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Procedemos a reducir el sistema por Gauss
$\left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right. \quad \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\quad , \quad 2e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$
$ \sim \left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ & & (k+1)\,y&+&2z&=&0\\ & & (2k+1)y&+&2\,(k+1)\,z&=&0\\ \end{matrix}\right. \sim $
$ \sim \left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&(k+1)\,y&=&0\\ & & 2\,(k+1)z&+&(2k+1)\,y&&=&0\\ \end{matrix}\right.\quad \overset{-(k+1)\,e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $
$\left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&(k+1)\,y&=&0\\ & & &&-k^2\,y&&=&0\\ \end{matrix}\right.$
Con esto vemos que el rango del sistema ( número de ecuaciones linealmente independientes ), $r$, es:
I) Si $k=0$, $r=2\prec n=3$ ( $n$ denota el número de variables del sistema ) con lo cual el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria
II) Si $k \neq 0$, $r=3=n$ y, por tanto, el sistema es compatible determinado.
Procedemos, ahora, a resolver el sistema en los dos casos:
I) Con $k=0$, el sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&y&=&0\\ \end{matrix}\right.$$ Escogiendo $y$ como variable secundaria, asignamos $\lambda:=-y$, con lo cual el sistema a resolver es $$\left\{\begin{matrix}x & +& z&=&\lambda\\ & & 2\,z&=&\lambda\\ \end{matrix}\right. \quad \sim \quad \left\{\begin{matrix}x & & &=&\dfrac{\lambda}{2}\\ & & z&=&\dfrac{\lambda}{2}\\ \end{matrix}\right. $$ Así, pues, la solución viene dada en este caso por las infinitas $3$-tuplas $$\{(x,y,z)=\left(\dfrac{\lambda}{2}\,,\,-\lambda\,,\,\dfrac{\lambda}{2}\right):\;\lambda \in \mathbb{R}\}$$ entre las cuales se cuenta la solución trivial $(x,y,z)=(0,0,0)$.
II) Con $k=0$, la solución es la trivial, y está formada únicamente por la $3$-tupla: $(x,y,z)=(0,0,0)$
$\square$
[autoría]
miércoles, 21 de octubre de 2015
Discutir y resolver el sistema de ecuaciones ...
ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real $a$
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\2x&+&2y&-&3z&=&3\\3x&+&ay&-&2z&=&5\end{matrix}\right.$$
a) Discútase el sistema para los diferentes valores de $a$
b) Resuélvase el sistema en el caso $a=2$
SOLUCIÓN.
a) Podemos expresar el sistema de ecuaciones en forma matricial $$AX=B$$ siendo $A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -3 \\
3 & a & -2 \\
\end{array}\right)$ la matriz de los coeficientes, $X=\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}\right)$ la matriz columna de las incógnitas y $B=\left(\begin{array}{c}
1 \\
3 \\
5 \\
\end{array}\right)$ la matriz columna de los términos independientes
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es $$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 1 \\
2 & 2 & -3 & 3 \\
3 & a & -2 & 5 \\
\end{array}\right)$$ y es a partir de ella que vamos a realizar el estudio de rangos.
Observemos que el determinante de la submatriz formada por los elementos $a_{12}$, $a_{13}$, $a_{22}$ y $a_{23}$ es $\begin{vmatrix}1 & -1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} =-1 \neq 0$, luego los rangos de la matriz $A$ y $A^*$ son mayores o iguales que $2$. Estudiemos, ahora para qué valores de $a$ dichos rangos pueden llegar a ser superiores a $2$ ( no pueden ser superiores a $3$, pues el número de incógnitas es $n=3$ ).
Orlando dicha submatriz, aparecen dos submatrices de orden tres ( la submatriz que corresponde a la matriz $A$; y la submatriz formada por las columnas segunda, tercera y cuarta ), cuyos determinantes respectivos son:
i) $\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & a & -2 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a-3=0 \Leftrightarrow a=3$, de lo cual se deduce que:
$\text{rg}(A)=2$ si $a=3$, y $\text{rg}(A)=3$ si $a \neq 3$
ii) $\begin{vmatrix}1 & -1 & 1\\ 2 & -3 & 3 \\ a & -2 & 5 \end{vmatrix}=15 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A^*)=3$
Visto esto, y por el teorema de Rouché-Fröbenius, distinguimos los siguientes casos:
I) Si $a \neq 3$, los rangos de $A$ y $A^*$ coinciden ( son igual a $3$ ) y este valor es igual al número de incógnitas ( que es $3$ ), luego el sistema es compatible determinado.
II) Si $a = 3$, $2=\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)=3$, luego el sistema es incompatible.
b) A continuación, procedemos a resolver el sistema de ecuaciones para $a=2$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\2x&+&2y&-&3z&=&3\\3x&+&2y&-&2z&=&5\end{matrix}\right.$$ mediante las combinaciones entre filas $-2\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ y $-3\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ obtenemos el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\&&&-&z&=&1\\&&-y&+&z&=&2\end{matrix}\right.$$ sumando ahora la primera y la tercera ( miembro a miembro ), $e_1+e_3 \rightarrow e_3$, se tiene este otro sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\&&&&z&=&-1\\x&&&&&=&3\end{matrix}\right.$$ obteniendo los valores de la tercera y primera incóngitas ( $x=3$ y $z=-1$ ); finalmente, sustituyendo éstos en la primera ecuación, se llega al valor que corresponde a la segunda incógnita $3+y+1=1 \Leftrightarrow y=-3$
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\2x&+&2y&-&3z&=&3\\3x&+&ay&-&2z&=&5\end{matrix}\right.$$
a) Discútase el sistema para los diferentes valores de $a$
b) Resuélvase el sistema en el caso $a=2$
SOLUCIÓN.
a) Podemos expresar el sistema de ecuaciones en forma matricial $$AX=B$$ siendo $A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -3 \\
3 & a & -2 \\
\end{array}\right)$ la matriz de los coeficientes, $X=\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}\right)$ la matriz columna de las incógnitas y $B=\left(\begin{array}{c}
1 \\
3 \\
5 \\
\end{array}\right)$ la matriz columna de los términos independientes
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es $$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 1 \\
2 & 2 & -3 & 3 \\
3 & a & -2 & 5 \\
\end{array}\right)$$ y es a partir de ella que vamos a realizar el estudio de rangos.
Observemos que el determinante de la submatriz formada por los elementos $a_{12}$, $a_{13}$, $a_{22}$ y $a_{23}$ es $\begin{vmatrix}1 & -1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} =-1 \neq 0$, luego los rangos de la matriz $A$ y $A^*$ son mayores o iguales que $2$. Estudiemos, ahora para qué valores de $a$ dichos rangos pueden llegar a ser superiores a $2$ ( no pueden ser superiores a $3$, pues el número de incógnitas es $n=3$ ).
Orlando dicha submatriz, aparecen dos submatrices de orden tres ( la submatriz que corresponde a la matriz $A$; y la submatriz formada por las columnas segunda, tercera y cuarta ), cuyos determinantes respectivos son:
i) $\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & a & -2 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a-3=0 \Leftrightarrow a=3$, de lo cual se deduce que:
$\text{rg}(A)=2$ si $a=3$, y $\text{rg}(A)=3$ si $a \neq 3$
ii) $\begin{vmatrix}1 & -1 & 1\\ 2 & -3 & 3 \\ a & -2 & 5 \end{vmatrix}=15 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A^*)=3$
Visto esto, y por el teorema de Rouché-Fröbenius, distinguimos los siguientes casos:
I) Si $a \neq 3$, los rangos de $A$ y $A^*$ coinciden ( son igual a $3$ ) y este valor es igual al número de incógnitas ( que es $3$ ), luego el sistema es compatible determinado.
II) Si $a = 3$, $2=\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)=3$, luego el sistema es incompatible.
b) A continuación, procedemos a resolver el sistema de ecuaciones para $a=2$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\2x&+&2y&-&3z&=&3\\3x&+&2y&-&2z&=&5\end{matrix}\right.$$ mediante las combinaciones entre filas $-2\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ y $-3\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ obtenemos el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\&&&-&z&=&1\\&&-y&+&z&=&2\end{matrix}\right.$$ sumando ahora la primera y la tercera ( miembro a miembro ), $e_1+e_3 \rightarrow e_3$, se tiene este otro sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\&&&&z&=&-1\\x&&&&&=&3\end{matrix}\right.$$ obteniendo los valores de la tercera y primera incóngitas ( $x=3$ y $z=-1$ ); finalmente, sustituyendo éstos en la primera ecuación, se llega al valor que corresponde a la segunda incógnita $3+y+1=1 \Leftrightarrow y=-3$
$\square$
[autoría]
martes, 20 de octubre de 2015
Calcular el valor del determinante
ENUNCIADO. Demostrar que el determinante llamado de Vandermonde de orden tres es igual a la expresión del segundo miembro de la siguiente igualdad
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2}\end{vmatrix}=(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha1)$$
SOLUCIÓN.
Procedemos a reducir el determinante hasta escalonarlo superiormente ( empleando las propiedades de los determinantes );
hecho esto, el determinante reducido es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{2} & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2}\end{vmatrix}\overset{-f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\;;\;-f_1+f_3\,\rightarrow\,f_3}{=}\begin{vmatrix}1 & \alpha_{1} & \alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{2}-\alpha_{1} & \alpha_{2}^{2}-\alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{3}-\alpha_{1} & \alpha_{3}^{2}-\alpha_{1}^{2}\end{vmatrix}\overset{-\frac{\alpha_3-\alpha_1}{\alpha_2-\alpha_1}\cdot f_2+f_3\,\rightarrow\,f_3}{=}$
$=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{2}-\alpha_{1} & \alpha_{2}^{2}-\alpha_{1}^{2}\\ 0 & 0 & (\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)\end{vmatrix}=1\cdot (\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_2-\alpha_1)=$
$=(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)$
NOTA:
Fácilmente, podemos generalizar esta fórmula a órdenes mayores, así:
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2} & \alpha_{1}^{3}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2} & \alpha_{2}^{3} \\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} & \alpha_{3}^{3} \\ 1 & \alpha_{4} & \alpha_{4}^{2} & \alpha_{4}^{3} \end{vmatrix}=(\alpha_4-\alpha_3)(\alpha_4-\alpha_2)(\alpha_4-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)$$ Y, en general,
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2} & \alpha_{1}^{3} & \ldots & \alpha_{1}^{n}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2} & \alpha_{2}^{3} & \ldots & \alpha_{2}^{n} \\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} & \alpha_{3}^{3} & \ldots & \alpha_{3}^{n} \\ 1 & \alpha_{4} & \alpha_{4}^{2} & \alpha_{4}^{3} & \ldots & \alpha_{4}^{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & \alpha_{n} & \alpha_{n}^{2} & \alpha_{n}^{3} & \ldots & \alpha_{n}^{n} \end{vmatrix}=$$
$=(\alpha_n-\alpha_{n-1})(\alpha_n-\alpha_{n-2})\ldots (\alpha_n-\alpha_1) \overset{\underbrace{\binom{n}{2}\; \text{factores}}}{\ldots} (\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)=$
$\displaystyle =\prod_{1\le i \le j \le n}^{n}\,(\alpha_j-\alpha_i)$
$\square$
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2}\end{vmatrix}=(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha1)$$
SOLUCIÓN.
Procedemos a reducir el determinante hasta escalonarlo superiormente ( empleando las propiedades de los determinantes );
hecho esto, el determinante reducido es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{2} & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2}\end{vmatrix}\overset{-f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\;;\;-f_1+f_3\,\rightarrow\,f_3}{=}\begin{vmatrix}1 & \alpha_{1} & \alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{2}-\alpha_{1} & \alpha_{2}^{2}-\alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{3}-\alpha_{1} & \alpha_{3}^{2}-\alpha_{1}^{2}\end{vmatrix}\overset{-\frac{\alpha_3-\alpha_1}{\alpha_2-\alpha_1}\cdot f_2+f_3\,\rightarrow\,f_3}{=}$
$=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{2}-\alpha_{1} & \alpha_{2}^{2}-\alpha_{1}^{2}\\ 0 & 0 & (\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)\end{vmatrix}=1\cdot (\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_2-\alpha_1)=$
$=(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)$
NOTA:
Fácilmente, podemos generalizar esta fórmula a órdenes mayores, así:
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2} & \alpha_{1}^{3}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2} & \alpha_{2}^{3} \\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} & \alpha_{3}^{3} \\ 1 & \alpha_{4} & \alpha_{4}^{2} & \alpha_{4}^{3} \end{vmatrix}=(\alpha_4-\alpha_3)(\alpha_4-\alpha_2)(\alpha_4-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)$$ Y, en general,
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2} & \alpha_{1}^{3} & \ldots & \alpha_{1}^{n}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2} & \alpha_{2}^{3} & \ldots & \alpha_{2}^{n} \\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} & \alpha_{3}^{3} & \ldots & \alpha_{3}^{n} \\ 1 & \alpha_{4} & \alpha_{4}^{2} & \alpha_{4}^{3} & \ldots & \alpha_{4}^{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & \alpha_{n} & \alpha_{n}^{2} & \alpha_{n}^{3} & \ldots & \alpha_{n}^{n} \end{vmatrix}=$$
$=(\alpha_n-\alpha_{n-1})(\alpha_n-\alpha_{n-2})\ldots (\alpha_n-\alpha_1) \overset{\underbrace{\binom{n}{2}\; \text{factores}}}{\ldots} (\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)=$
$\displaystyle =\prod_{1\le i \le j \le n}^{n}\,(\alpha_j-\alpha_i)$
$\square$
jueves, 15 de octubre de 2015
Interpretar geométricamente ...
ENUNCIADO. Sea un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas; compatible indeterminado, con 1 variable secundaria. ¿ Cuál es el rango del sistema ? ¿ Qué interpretación geométrica tienen las infinitas ternas de números que constituyen la solución del mismo ?.
SOLUCIÓN. El número de variables secundarias es igual a $n-r$ ( donde $n$ denota el número de incógnitas y $r$ el rango del sistema de ecuaciones ), entonces $1=3-r$, de donde $r=3-1=2$; quiere decir esto que de las cuatro ecuaciones del sistema que tratamos sólo dos son linealmente independientes. Vamos a dar respuesta, ahora, a la segunda pregunta: como el número de variables secundarias es $1$ y esto se corresponde con el número de parámetros en la estructura de la solución, es decir, con el número de grados de libertad del objeto plano que representa la solución, éste debe ser una recta ( que justamente tiene un grado de libertad, esto es, dimensión geométrica $1$ ) en el espacio vectorial de dimensión $3$. $\square$
SOLUCIÓN. El número de variables secundarias es igual a $n-r$ ( donde $n$ denota el número de incógnitas y $r$ el rango del sistema de ecuaciones ), entonces $1=3-r$, de donde $r=3-1=2$; quiere decir esto que de las cuatro ecuaciones del sistema que tratamos sólo dos son linealmente independientes. Vamos a dar respuesta, ahora, a la segunda pregunta: como el número de variables secundarias es $1$ y esto se corresponde con el número de parámetros en la estructura de la solución, es decir, con el número de grados de libertad del objeto plano que representa la solución, éste debe ser una recta ( que justamente tiene un grado de libertad, esto es, dimensión geométrica $1$ ) en el espacio vectorial de dimensión $3$. $\square$
Estudiar según los valores del parámetro y, si procede, resolver el sistema
ENUNCIADO. Estudiar y resolver ( cuando proceda ) el sistema de ecuaciones, en función de los valores que tome el parámetro $k$:
$$\left\{\begin{matrix}k\,x&+&3\,y&=&4\\ 3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&k\\ \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. La matriz ampliada del sistema es $$(A|B)=\left(\begin{array}{cc|c}
k & 3 & 4 \\
3 & -1 & 2 \\
2 & -1 & k \\
\end{array}\right)$$
Vamos a estudiar su rango ( así como el rango de la matriz $A$ ) por el método de los determinantes ( el rango de una matriz es igual al orden del mayor menor no-nulo ). Observemos que el determinante de la submatriz ( o menor ) formada por los elementos de la segunda y tercera filas y primera y segunda columnas es $$\begin{vmatrix}
3 & -1 \\
2 & -1 \\
\end{vmatrix} = -1 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A)=2 \quad \text{y} \quad \text{rg}(A|B) \ge 2$$
Orlando, ahora, dicha submatriz nos encontramos con un único determinante de orden tres
$$\begin{vmatrix}
k&3 & 4 \\
3 & -1&2 \\
2 & -1&k \\
\end{vmatrix} =0 \Leftrightarrow k^2+7k-8=0 \Leftrightarrow k=\left\{\begin{matrix}
1 \\
\\
-8
\end{matrix}\right.
$$
Nos encontramos, pues, con dos casos posibles:
I) Si $k \in \{-8\,,\,1\}$, $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)=2=n$ ( $n$ denota el número de incógnitas ), por lo que el sistema de compatible determinado
II) Si $k \notin \{-8\,,\,1\}$, $\text{rg}(A)=2 \neq \text{rg}(A|B)=3$, por lo que el sistema es incompatible
A continuación, procedemos a resolver el sistema para el caso ( compatible determinado ) en que $k \in \{-8\,,\,1\}$. Para ello, tenemos en cuenta que las dos últimas ecuaciones son linealmente independients ( la primera ha de ser combinación lineal de éstas ), ya que la submatriz de los coeficientes del sistema de orden dos que corresponde a estas dos ecuaciones es distinto de cero ( tal como hemos visto al principio ) y ello garantiza la independencia lineal de estas dos últimas ecuaciones ( el rango del sistema es $2$ ).
Ia) Si $k=1$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. $$
$$\sim \left\{\begin{matrix}3&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&1\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right.$$
Ib) Si $k=-8$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&-8\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. $$
$$\sim \left\{\begin{matrix}30&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&28\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right.$$
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}k\,x&+&3\,y&=&4\\ 3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&k\\ \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. La matriz ampliada del sistema es $$(A|B)=\left(\begin{array}{cc|c}
k & 3 & 4 \\
3 & -1 & 2 \\
2 & -1 & k \\
\end{array}\right)$$
Vamos a estudiar su rango ( así como el rango de la matriz $A$ ) por el método de los determinantes ( el rango de una matriz es igual al orden del mayor menor no-nulo ). Observemos que el determinante de la submatriz ( o menor ) formada por los elementos de la segunda y tercera filas y primera y segunda columnas es $$\begin{vmatrix}
3 & -1 \\
2 & -1 \\
\end{vmatrix} = -1 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A)=2 \quad \text{y} \quad \text{rg}(A|B) \ge 2$$
Orlando, ahora, dicha submatriz nos encontramos con un único determinante de orden tres
$$\begin{vmatrix}
k&3 & 4 \\
3 & -1&2 \\
2 & -1&k \\
\end{vmatrix} =0 \Leftrightarrow k^2+7k-8=0 \Leftrightarrow k=\left\{\begin{matrix}
1 \\
\\
-8
\end{matrix}\right.
$$
Nos encontramos, pues, con dos casos posibles:
I) Si $k \in \{-8\,,\,1\}$, $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)=2=n$ ( $n$ denota el número de incógnitas ), por lo que el sistema de compatible determinado
II) Si $k \notin \{-8\,,\,1\}$, $\text{rg}(A)=2 \neq \text{rg}(A|B)=3$, por lo que el sistema es incompatible
A continuación, procedemos a resolver el sistema para el caso ( compatible determinado ) en que $k \in \{-8\,,\,1\}$. Para ello, tenemos en cuenta que las dos últimas ecuaciones son linealmente independients ( la primera ha de ser combinación lineal de éstas ), ya que la submatriz de los coeficientes del sistema de orden dos que corresponde a estas dos ecuaciones es distinto de cero ( tal como hemos visto al principio ) y ello garantiza la independencia lineal de estas dos últimas ecuaciones ( el rango del sistema es $2$ ).
Ia) Si $k=1$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. $$
$$\sim \left\{\begin{matrix}3&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&1\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right.$$
Ib) Si $k=-8$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&-8\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. $$
$$\sim \left\{\begin{matrix}30&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&28\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right.$$
$\square$
Estudiar el sistema homogéneo en función de los valores del parámetro ...
EUNCIADO. Estudiar en función de los valores del parámetro $k$ y resolver ( en los casos que proceda ) el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&+&z&=&0\\
-x & +& k\,y&+&z&=&0\\
2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. El sistema es homogéneo. La matriz ampliada es $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & k & 1 & 0 \\
2 & 1 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right)$$
luego ( al ser homogéneo ), para cualquier valor de $k$, tendremos que $r:=\text{rg}(A|B)=\text{rg}(A)$ y, por tanto, el sistema es compatible.
Vamos a analizar ahora los posibles valores de $r$, pues si $r=n=3$ el sistema será compatible determinado y su solución será la trivial $(0,0,0)$; por otro lado, si $r \prec n=3$, el sistema será compatible indeterminado.
Reduciendo la matriz $(A|B)$ por Gauss ( obteniendo así matrices equivalentes en rango ) obtenemos
$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & k & 1 & 0 \\
2 & 1 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right) \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\,;\, -2\,e_1+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $$
$$ \sim \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1+k & 2 & 0 \\
0 & -1 & 2\,(k-1) & 0 \\
\end{array}\right) \overset{(1+a)\,e_e+e_2 \rightarrow e_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1+k & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right) $$
Así, podemos distinguir dos casos:
I) Si $k=0$, sólo hay dos ecuaciones linealmente independientes ( dos filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=2 \prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria.
II) Si $k \neq 0$, las tres ecuaciones son linealmente independientes ( tres filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=3=n$, luego el sistema es compatible determinado, y su única solución es la trivial ( como ya hemos avanzado ): $(0,0,0)$
Vamos ahora a resolver el sistema en las condiciones de (I). El sistema equivalente es: $$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&+&z&=&0\\
& & y&+&2\,z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
Eligiendo $z$ como variable secundaria, hacemos $\lambda:=-z$ y, por tanto, reescribimos el sistema así
$$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&=&\lambda\\\
& & y&=&2\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$
Sustituyendo $y=2\,\lambda$ en la primera ecuación: $x=-\lambda$. Por consiguiente, la solución del sistema ( para el caso I ) viene dado por infinitas ternas ( puntos ) $$\{(-\lambda\,,\, 2\,\lambda\,,\,-\lambda): \lambda \in \mathbb{R} \}$$
Y, al tener un sólo grado de libertad ( el parámetro $\lambda$ ) podemos interpretar esta solución como los infinitos puntos de una recta en el espacio de dimensión $3$.
$\square$
x & +& y&+&z&=&0\\
-x & +& k\,y&+&z&=&0\\
2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. El sistema es homogéneo. La matriz ampliada es $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & k & 1 & 0 \\
2 & 1 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right)$$
luego ( al ser homogéneo ), para cualquier valor de $k$, tendremos que $r:=\text{rg}(A|B)=\text{rg}(A)$ y, por tanto, el sistema es compatible.
Vamos a analizar ahora los posibles valores de $r$, pues si $r=n=3$ el sistema será compatible determinado y su solución será la trivial $(0,0,0)$; por otro lado, si $r \prec n=3$, el sistema será compatible indeterminado.
Reduciendo la matriz $(A|B)$ por Gauss ( obteniendo así matrices equivalentes en rango ) obtenemos
$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & k & 1 & 0 \\
2 & 1 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right) \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\,;\, -2\,e_1+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $$
$$ \sim \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1+k & 2 & 0 \\
0 & -1 & 2\,(k-1) & 0 \\
\end{array}\right) \overset{(1+a)\,e_e+e_2 \rightarrow e_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1+k & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right) $$
Así, podemos distinguir dos casos:
I) Si $k=0$, sólo hay dos ecuaciones linealmente independientes ( dos filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=2 \prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria.
II) Si $k \neq 0$, las tres ecuaciones son linealmente independientes ( tres filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=3=n$, luego el sistema es compatible determinado, y su única solución es la trivial ( como ya hemos avanzado ): $(0,0,0)$
Vamos ahora a resolver el sistema en las condiciones de (I). El sistema equivalente es: $$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&+&z&=&0\\
& & y&+&2\,z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
Eligiendo $z$ como variable secundaria, hacemos $\lambda:=-z$ y, por tanto, reescribimos el sistema así
$$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&=&\lambda\\\
& & y&=&2\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$
Sustituyendo $y=2\,\lambda$ en la primera ecuación: $x=-\lambda$. Por consiguiente, la solución del sistema ( para el caso I ) viene dado por infinitas ternas ( puntos ) $$\{(-\lambda\,,\, 2\,\lambda\,,\,-\lambda): \lambda \in \mathbb{R} \}$$
Y, al tener un sólo grado de libertad ( el parámetro $\lambda$ ) podemos interpretar esta solución como los infinitos puntos de una recta en el espacio de dimensión $3$.
$\square$
domingo, 21 de junio de 2015
Se considera la función real de variable real definida por ...
ENUNCIADO
Se considera la función real de variable real definida por: $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6} & \text{si} & x \prec 2\\
\\
3x+m & \text{si} & x \ge 2
\end{matrix}\right.$$
a) Calcúlese el valor del parámetro real $m$ para que la función $f$ sea continua en $x=2$
b) Calcúlense $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x)$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Observemos que el tramo izquierdo de la función se simplifica al factorizar los polinomios del numerador y denominador de la fracción algebraica $$\dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x+2}{x-3}$$
con lo cual, el único valor de $x$ que presenta problemas de continuidad es $x=3$, ya que éste anula el denominador ( y no el numerador ); sin embargo, tan solo se nos pide que averigüemos el valor que debe tomar el parámetro $m$ ( del segundo tramo de la función ) para que ésta sea continua en el punto de abscisa $x=2$; para ello, impongamos la condición de continuidad: $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)=f(2)$$ y por tanto $$\dfrac{x+2}{x-3}\,|_{x=2}=(3x+m)|_{x=2}$$ esto es $$\dfrac{2+2}{2-3}=3 \cdot 2 +m \Leftrightarrow m=-10$$ siendo $$f(2)=3\cdot 2 -10=-4$$
b)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{x/x+2/x}{x/x-3/x}=\lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{1+2/x}{1-3/x}=\dfrac{1+\frac{2}{-\infty}}{1-\frac{3}{-\infty}}=\dfrac{1+0}{1-0}=1$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,(3x+m)=+\infty+m=+\infty$
$\square$
Se considera la función real de variable real definida por: $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6} & \text{si} & x \prec 2\\
\\
3x+m & \text{si} & x \ge 2
\end{matrix}\right.$$
a) Calcúlese el valor del parámetro real $m$ para que la función $f$ sea continua en $x=2$
b) Calcúlense $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x)$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Observemos que el tramo izquierdo de la función se simplifica al factorizar los polinomios del numerador y denominador de la fracción algebraica $$\dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x+2}{x-3}$$
con lo cual, el único valor de $x$ que presenta problemas de continuidad es $x=3$, ya que éste anula el denominador ( y no el numerador ); sin embargo, tan solo se nos pide que averigüemos el valor que debe tomar el parámetro $m$ ( del segundo tramo de la función ) para que ésta sea continua en el punto de abscisa $x=2$; para ello, impongamos la condición de continuidad: $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)=f(2)$$ y por tanto $$\dfrac{x+2}{x-3}\,|_{x=2}=(3x+m)|_{x=2}$$ esto es $$\dfrac{2+2}{2-3}=3 \cdot 2 +m \Leftrightarrow m=-10$$ siendo $$f(2)=3\cdot 2 -10=-4$$
b)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{x/x+2/x}{x/x-3/x}=\lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{1+2/x}{1-3/x}=\dfrac{1+\frac{2}{-\infty}}{1-\frac{3}{-\infty}}=\dfrac{1+0}{1-0}=1$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,(3x+m)=+\infty+m=+\infty$
$\square$
Sabiendo que la derivada de una función real de variable real $f$ es ...
ENUNCIADO
Sabiendo que la derivada de una función real de variable real $f$ es $f'(x)=3\,x^2+2\,x$,
a) Calcúlese la expresión $f(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(1,4)$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto $P(1,4)$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Por el Primer Teorema Fundamental del Calculo podemos escribir $$f(x)=\int\,(3x^2+2x)\,dx=x^3+x^2+C$$ Teniendo en cuenta, ahora, que $f(1)=4$, de lo anterior vemos que $$4=1^3+1^2+C \Leftrightarrow C=2$$ con lo cual, la función pedida es $$f(x)=x^3+x^2+2$$
b)
Como la función dada es continua y derivable ( para todo valor de $x$ en el caso que nos ocupa ), teniendo en cuenta el Teorema del Valor Medio en un intervalo que incluya el punto $x=1$, podemos escribir que
$$f'(1)=\dfrac{y-f(1)}{x-1}$$
de donde, despejando $y$, se deduce que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=1$ viene dada por
$$y=f(1)+f'(1)\,(x-1) \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
La función derivada de $f$ es
$$f'(x)=3\,x^2+2\,x$$
luego la derivada en el punto pedido es
$$f'(1)=3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 5 $$
por lo que, sustituyendo en (1), obtenemos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $P(1,4)$:
$$y=5x-1$$
$\square$
Sabiendo que la derivada de una función real de variable real $f$ es $f'(x)=3\,x^2+2\,x$,
a) Calcúlese la expresión $f(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(1,4)$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto $P(1,4)$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Por el Primer Teorema Fundamental del Calculo podemos escribir $$f(x)=\int\,(3x^2+2x)\,dx=x^3+x^2+C$$ Teniendo en cuenta, ahora, que $f(1)=4$, de lo anterior vemos que $$4=1^3+1^2+C \Leftrightarrow C=2$$ con lo cual, la función pedida es $$f(x)=x^3+x^2+2$$
b)
Como la función dada es continua y derivable ( para todo valor de $x$ en el caso que nos ocupa ), teniendo en cuenta el Teorema del Valor Medio en un intervalo que incluya el punto $x=1$, podemos escribir que
$$f'(1)=\dfrac{y-f(1)}{x-1}$$
de donde, despejando $y$, se deduce que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=1$ viene dada por
$$y=f(1)+f'(1)\,(x-1) \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
La función derivada de $f$ es
$$f'(x)=3\,x^2+2\,x$$
luego la derivada en el punto pedido es
$$f'(1)=3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 5 $$
por lo que, sustituyendo en (1), obtenemos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $P(1,4)$:
$$y=5x-1$$
$\square$
Sean las funciones ... Calcular el área de la región delimitada
ENUNCIADO
Sean las funciones reales de variable real $f(x)=x^2-6x$ y $g(x)=x-10$
a) Represéntese gráficamente las funciones $f$ y $g$
b) Calcúlese el área del recinto plano acotado por las gráficas de las funciones $f$ y $g$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
b)
El área pedida corresponde a la de la región representada en la siguiente figura
Figura 1
Las abscisas de los puntos de intersección, $A$ y $B$, de las gráficas de $f$ y $g$ son la solución de la ecuación $$x^2-6x=x-10 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}
2 \\
\\
5
\end{matrix}\right.$$
Figura 2
Figura 2
Restando el valor de las integrales definidas representadas en las figuras 2 y 3, el valor absoluto de dicho resultado ( él área es, por definición, una magnitud positiva ) representa el área pedida: $$\left| \int_{2}^{5}\,(g(x)-f(x))\,dx \right|$$ esto es $$\left| \int_{2}^{5}\,(-x^2+7x-10)\,dx \right|$$ Aplicando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, resolvemos la integral indefinida $$ \int_{2}^{5}\,(-x^2+7x-10)\,dx $$ Una función primitiva es $$-\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{7}{2}\,x^2-10\,x$$ y, por Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ) nos queda $$ \left[ -\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{7}{2}\,x^2-10\,x \right]_{2}^{5} $$
cuyo valor absoluto es el área pedida $$\left|(-\dfrac{1}{3}\,5^3+\dfrac{7}{2}\,5^2-10\cdot 5)-(-\dfrac{1}{3}\,2^3+\dfrac{7}{2}\,2^2-10\cdot 2)\right|$$ y haciendo los cálculos, llegamos al siguiente resultado $$\dfrac{9}{2}$$
expresado en unidades arbitrarias de área.
$\square$
Sean las funciones reales de variable real $f(x)=x^2-6x$ y $g(x)=x-10$
a) Represéntese gráficamente las funciones $f$ y $g$
b) Calcúlese el área del recinto plano acotado por las gráficas de las funciones $f$ y $g$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
b)
El área pedida corresponde a la de la región representada en la siguiente figura
Las abscisas de los puntos de intersección, $A$ y $B$, de las gráficas de $f$ y $g$ son la solución de la ecuación $$x^2-6x=x-10 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}
2 \\
\\
5
\end{matrix}\right.$$
Figura 2Figura 2Restando el valor de las integrales definidas representadas en las figuras 2 y 3, el valor absoluto de dicho resultado ( él área es, por definición, una magnitud positiva ) representa el área pedida: $$\left| \int_{2}^{5}\,(g(x)-f(x))\,dx \right|$$ esto es $$\left| \int_{2}^{5}\,(-x^2+7x-10)\,dx \right|$$ Aplicando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, resolvemos la integral indefinida $$ \int_{2}^{5}\,(-x^2+7x-10)\,dx $$ Una función primitiva es $$-\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{7}{2}\,x^2-10\,x$$ y, por Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ) nos queda $$ \left[ -\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{7}{2}\,x^2-10\,x \right]_{2}^{5} $$
cuyo valor absoluto es el área pedida $$\left|(-\dfrac{1}{3}\,5^3+\dfrac{7}{2}\,5^2-10\cdot 5)-(-\dfrac{1}{3}\,2^3+\dfrac{7}{2}\,2^2-10\cdot 2)\right|$$ y haciendo los cálculos, llegamos al siguiente resultado $$\dfrac{9}{2}$$
expresado en unidades arbitrarias de área.
$\square$
viernes, 19 de junio de 2015
Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2&2 &0 \\ 0 & 3 &2 \\ -1 & k &2 \end{pmatrix}$$ ...
ENUNCIADO
Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix}
2&2 &0 \\
0 & 3 &2 \\
-1 & k &2
\end{pmatrix}$$
a) Estúdiese el rango de $A$ según los valores del parámetro real $k$
b) Calcúlese, si existe, la matriz inversa de $A$ para $k=3$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Observemos que el determinante de la submatriz de orden $2$ formada por los elementos de la primera y segunda filas y los de la primera y segunda columnas es $\begin{vmatrix}
2 &2 \\
0 &3
\end{vmatrix}=6 \neq 0$, por lo que deducimos que el rango de $A$ es mayor o igual que $2$, y menor que $3$ ( por ser éste el orden de la matriz ). Orlando esta submatriz obtenemos una única submatriz de un orden superior, que es la matriz $A$, y cuyo determinante es igual a $8-4k$, el cual sólo se anula para $k=2$; por consiguiente, podemos afirmar que $$\text{rg}(A)=\left\{\begin{matrix}
2 & \text{si} & k=2 \\
3 & \text{si} & k\neq2 \\
\end{matrix}\right.$$
b)
Si $k=3$, el rango de $A$ es $3$, luego por el resultado del apartado anterior, el determinante de $A$ es no nulo, luego existe matriz inversa de $A$ ( que es única ). Procedemos a calcularla por el método de Gauss-Jordan: $(A|I) \overset{\text{operaciones elementales entre filas}}{\longrightarrow} (I|A^{-1})$, donde $I$ es la matriz identidad.
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right) \overset{2\,f_3+f_1 \rightarrow f_3}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 8 & 4 & 1 & 0 & 2\\
\end{array}\right) \overset{-\frac{8}{3}\cdot\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 8 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{2\cdot \frac{3}{4}\cdot\,f_3+f_2 \rightarrow f_2}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 3/2 & -3 & 3\\
0 & 0 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{ -\frac{2}{3}\cdot\,f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2\\
0 & 3 & 0 & 3/2 & -3 & 3\\
0 & 0 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{ \frac{1}{2}\,f_1 \rightarrow f_1;\frac{1}{3}\,f_2 \rightarrow f_2;-\frac{3}{4}\,f_3 \rightarrow f_3 }{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 1 & 0 & 1/2 & -1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -3/4 & 2 & -3/2\\
\end{array}\right) $$
luego $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & -1\\
1/2 & -1 & 1\\
-3/4 & 2 & -3/2\\
\end{array}\right) $$
$\square$
Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix}
2&2 &0 \\
0 & 3 &2 \\
-1 & k &2
\end{pmatrix}$$
a) Estúdiese el rango de $A$ según los valores del parámetro real $k$
b) Calcúlese, si existe, la matriz inversa de $A$ para $k=3$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Observemos que el determinante de la submatriz de orden $2$ formada por los elementos de la primera y segunda filas y los de la primera y segunda columnas es $\begin{vmatrix}
2 &2 \\
0 &3
\end{vmatrix}=6 \neq 0$, por lo que deducimos que el rango de $A$ es mayor o igual que $2$, y menor que $3$ ( por ser éste el orden de la matriz ). Orlando esta submatriz obtenemos una única submatriz de un orden superior, que es la matriz $A$, y cuyo determinante es igual a $8-4k$, el cual sólo se anula para $k=2$; por consiguiente, podemos afirmar que $$\text{rg}(A)=\left\{\begin{matrix}
2 & \text{si} & k=2 \\
3 & \text{si} & k\neq2 \\
\end{matrix}\right.$$
b)
Si $k=3$, el rango de $A$ es $3$, luego por el resultado del apartado anterior, el determinante de $A$ es no nulo, luego existe matriz inversa de $A$ ( que es única ). Procedemos a calcularla por el método de Gauss-Jordan: $(A|I) \overset{\text{operaciones elementales entre filas}}{\longrightarrow} (I|A^{-1})$, donde $I$ es la matriz identidad.
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right) \overset{2\,f_3+f_1 \rightarrow f_3}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 8 & 4 & 1 & 0 & 2\\
\end{array}\right) \overset{-\frac{8}{3}\cdot\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 8 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{2\cdot \frac{3}{4}\cdot\,f_3+f_2 \rightarrow f_2}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 3/2 & -3 & 3\\
0 & 0 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{ -\frac{2}{3}\cdot\,f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2\\
0 & 3 & 0 & 3/2 & -3 & 3\\
0 & 0 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{ \frac{1}{2}\,f_1 \rightarrow f_1;\frac{1}{3}\,f_2 \rightarrow f_2;-\frac{3}{4}\,f_3 \rightarrow f_3 }{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 1 & 0 & 1/2 & -1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -3/4 & 2 & -3/2\\
\end{array}\right) $$
luego $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & -1\\
1/2 & -1 & 1\\
-3/4 & 2 & -3/2\\
\end{array}\right) $$
$\square$
Una fábrica de piensos produce diariamente, como mucho, seis toneladas de ...
ENUNCIADO
Una fábrica de piensos para animales produce diariamente, como mucho, seis toneladas de pienso de tipo $A$; y, a lo sumo, cuatro toneladas de pienso de tipo $B$. Además, la producción diaria de pienso de tipo $B$ no puede superar el doble de la de tipo $A$; y, por último, el doble de la fabricación de pienso de tipo $A$ sumada con la de tipo $B$ debe ser, como poco, de cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de fabricación de una tonelada de pienso de tipo $A$ es de $1000$ euros, y el de una tonelada de pienso de tipo $B$ es de $2000$ euros, ¿ cuál es la producción diaria para que la fábrica cumpla con sus obligaciones con un coste mínimo ? Calcúlese dicho coste diario mínimo.
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
Denotemos por $a$ la cantidad de pienso de tipo $A$ producida diariamente; y, por $b$, la de tipo $B$. Entonces, el sistema de restricciones es
$$\mathcal{R:}\left\{\begin{matrix}
a & \ge & 0 \\
b & \ge & 0 \\
a & \le & 6 \\
b & \le & 4 \\
b & \le & 2\,a \\
2a &+&b& \ge & 4 \\
\end{matrix}\right.$$
Las dos primeras desigualdades sitúan la región factible en el primer cuadrante. Para determinar su contorno, trazamos las rectas frontera
$$\left\{\begin{matrix}
r_1:\,b & = & 0 \\
r_2:\,a & = & 6 \\
r_3:\,b & = & 4 \\
r_4:\,b & = & 2\,a \\
r_5;\,b &=&-2\,a& + & 4 \\
\end{matrix}\right.$$
y calculando las coordenadas de los vértices,
$$A \in r_3 \cap r_4 \Rightarrow A:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & 4 \\
b & = & 2\,a \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow A(2,4)$$
$$B \in r_4 \cap r_5 \Rightarrow B:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & -2\,a+4 \\
b & = & 2\,a \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow B(1,2)$$
$$C \in r_1 \cap r_5 \Rightarrow C:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & -2\,a+4 \\
b & = & 0 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow C(2,0)$$
$$D \in r_1 \cap r_2 \Rightarrow D:\,\left\{\begin{matrix}
a & = & 6 \\
b & = & 0 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow D(6,0)$$
$$E \in r_2 \cap r_3 \Rightarrow E:\,\left\{\begin{matrix}
a & = & 6 \\
b & = & 4 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow E(6,4)$$
La función objetivo es $$f(a,b)=1000\,a+2000\,b$$
Escogiendo $f(a,b):=0$, representamos fácilmente una de las rectas de la familia de rectas de la función objetivo: $b=-\dfrac{1}{2}\,a$; y, trazando paralelas a la misma que incidan en la región factible $\mathcal{R}$, visualizamos dicha familia ( en rojo ), para los diversos valores de $f(a,b)$, cantidad a la que, por comodidad, denominaremos $k$: $$\mathcal{F}:\,b=-\dfrac{1}{2}\,a+\dfrac{k}{2000}$$ De entre estas infinitas rectas, encontramos que la recta que da el mínimo valor de $f(a,b)$; y, por tanto, el mínimo valor de la ordenada en el origen $\dfrac{k}{2000}$, que es la que pasa por el punto $A(2,0)$, como se observa en el gráfico. Las rectas paralelas que pasan por los otros vértices de $\mathcal{R}$ dan valores mayores de $f$, tal y como se puede comprobar, también, de forma numérica. De aquí se deduce que para que el coste sea mínimo, la producción diaria de pienso de tipo $A$ ha de ser de $2$ toneladas; y, la de $B$, $0$ toneladas.
En estas condiciones, el coste mínimo es igual a $f(2,0)=1000 \cdot 2 + 2000 \cdot 0 = 2000$ euros diarios.
$\square$
Una fábrica de piensos para animales produce diariamente, como mucho, seis toneladas de pienso de tipo $A$; y, a lo sumo, cuatro toneladas de pienso de tipo $B$. Además, la producción diaria de pienso de tipo $B$ no puede superar el doble de la de tipo $A$; y, por último, el doble de la fabricación de pienso de tipo $A$ sumada con la de tipo $B$ debe ser, como poco, de cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de fabricación de una tonelada de pienso de tipo $A$ es de $1000$ euros, y el de una tonelada de pienso de tipo $B$ es de $2000$ euros, ¿ cuál es la producción diaria para que la fábrica cumpla con sus obligaciones con un coste mínimo ? Calcúlese dicho coste diario mínimo.
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
Denotemos por $a$ la cantidad de pienso de tipo $A$ producida diariamente; y, por $b$, la de tipo $B$. Entonces, el sistema de restricciones es
$$\mathcal{R:}\left\{\begin{matrix}
a & \ge & 0 \\
b & \ge & 0 \\
a & \le & 6 \\
b & \le & 4 \\
b & \le & 2\,a \\
2a &+&b& \ge & 4 \\
\end{matrix}\right.$$
Las dos primeras desigualdades sitúan la región factible en el primer cuadrante. Para determinar su contorno, trazamos las rectas frontera
$$\left\{\begin{matrix}
r_1:\,b & = & 0 \\
r_2:\,a & = & 6 \\
r_3:\,b & = & 4 \\
r_4:\,b & = & 2\,a \\
r_5;\,b &=&-2\,a& + & 4 \\
\end{matrix}\right.$$
y calculando las coordenadas de los vértices,
$$A \in r_3 \cap r_4 \Rightarrow A:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & 4 \\
b & = & 2\,a \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow A(2,4)$$
$$B \in r_4 \cap r_5 \Rightarrow B:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & -2\,a+4 \\
b & = & 2\,a \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow B(1,2)$$
$$C \in r_1 \cap r_5 \Rightarrow C:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & -2\,a+4 \\
b & = & 0 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow C(2,0)$$
$$D \in r_1 \cap r_2 \Rightarrow D:\,\left\{\begin{matrix}
a & = & 6 \\
b & = & 0 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow D(6,0)$$
$$E \in r_2 \cap r_3 \Rightarrow E:\,\left\{\begin{matrix}
a & = & 6 \\
b & = & 4 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow E(6,4)$$
La función objetivo es $$f(a,b)=1000\,a+2000\,b$$
Escogiendo $f(a,b):=0$, representamos fácilmente una de las rectas de la familia de rectas de la función objetivo: $b=-\dfrac{1}{2}\,a$; y, trazando paralelas a la misma que incidan en la región factible $\mathcal{R}$, visualizamos dicha familia ( en rojo ), para los diversos valores de $f(a,b)$, cantidad a la que, por comodidad, denominaremos $k$: $$\mathcal{F}:\,b=-\dfrac{1}{2}\,a+\dfrac{k}{2000}$$ De entre estas infinitas rectas, encontramos que la recta que da el mínimo valor de $f(a,b)$; y, por tanto, el mínimo valor de la ordenada en el origen $\dfrac{k}{2000}$, que es la que pasa por el punto $A(2,0)$, como se observa en el gráfico. Las rectas paralelas que pasan por los otros vértices de $\mathcal{R}$ dan valores mayores de $f$, tal y como se puede comprobar, también, de forma numérica. De aquí se deduce que para que el coste sea mínimo, la producción diaria de pienso de tipo $A$ ha de ser de $2$ toneladas; y, la de $B$, $0$ toneladas.
En estas condiciones, el coste mínimo es igual a $f(2,0)=1000 \cdot 2 + 2000 \cdot 0 = 2000$ euros diarios.
$\square$
jueves, 18 de junio de 2015
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\left\{\begin{matrix} 3\,x &+ &y&-&z&=&8\\ 2\,x & &&+&a\,z&=&3\\ x &+ &y&+&z&=&2\\ \end{matrix}\right.$$ ...
ENUNCIADO
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\left\{\begin{matrix}
3\,x &+ &y&-&z&=&8\\
2\,x & &&+&a\,z&=&3\\
x &+ &y&+&z&=&2\\
\end{matrix}\right.$$
a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=1$
[PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
Reordenando convenientemente ( por comodidad ) las ecuaciones y el orden de las variables podemos escribir el sistema de la forma
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
-z &+ &y&+&3x&=&8\\
az & &&+&2x&=&3\\
\end{matrix}\right.$$
Procedamos a reducir el sistema por Gauss. Mediante las siguientes operaciones elementales entre filas ( $e_1+e_2 \rightarrow e_2; -a\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ ) [ 1ª etapa del proceso de escalonamiento ] obtenemos el siguiente sistema equivalente al original
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &2y&+&4x&=&10\\
& &-ay&+&(2-a)\,x&=&3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
y simplificando la segunda ecuación
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &-ay&+&(2-a)\,x&=&3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
Y, haciendo $a\,e_2+e_3 \rightarrow a_3$, concluimos el proceso de reducción
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&(2a+(2-a))\,x&=&5a+3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&&(a+2)\,x&=&3\,(a+1)\\
\end{matrix}\right.$$
Distiguimos los dos siguientes casos:
I) Si $a=-2$, de la tercera ecuación obtenemos $0 \overset{!}{=}-3$, y, ante la contradicción, debemos concluir que el sistema es incompatible para ese valor de $a$
II) Si $a \neq -2$ las tres ecuaciones son linealmente independientes, luego el rango del sistema es $3$, y al ser igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado
b)
Si $a=1 \neq -2$ hemos visto que el sistema es compatible determinado; procedemos a calcular la solución, sustituyendo el valor del parámetro que se nos da en el sistema reducido ( recordemos que es equivalente al original ):
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&&3\,x&=&3\\
\end{matrix}\right.$$
De la tercera ecuación, encontramos $x=2$; sustiyendo este valor en la segunda ecuación, vemos que $y=2\cdot 2 = 5 \Rightarrow y=1$; y, a su vez, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, encontramos el valor de $z$: $z+2+1=2 \Rightarrow z=-1$
$\square$
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\left\{\begin{matrix}
3\,x &+ &y&-&z&=&8\\
2\,x & &&+&a\,z&=&3\\
x &+ &y&+&z&=&2\\
\end{matrix}\right.$$
a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=1$
[PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
Reordenando convenientemente ( por comodidad ) las ecuaciones y el orden de las variables podemos escribir el sistema de la forma
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
-z &+ &y&+&3x&=&8\\
az & &&+&2x&=&3\\
\end{matrix}\right.$$
Procedamos a reducir el sistema por Gauss. Mediante las siguientes operaciones elementales entre filas ( $e_1+e_2 \rightarrow e_2; -a\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ ) [ 1ª etapa del proceso de escalonamiento ] obtenemos el siguiente sistema equivalente al original
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &2y&+&4x&=&10\\
& &-ay&+&(2-a)\,x&=&3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
y simplificando la segunda ecuación
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &-ay&+&(2-a)\,x&=&3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
Y, haciendo $a\,e_2+e_3 \rightarrow a_3$, concluimos el proceso de reducción
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&(2a+(2-a))\,x&=&5a+3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&&(a+2)\,x&=&3\,(a+1)\\
\end{matrix}\right.$$
Distiguimos los dos siguientes casos:
I) Si $a=-2$, de la tercera ecuación obtenemos $0 \overset{!}{=}-3$, y, ante la contradicción, debemos concluir que el sistema es incompatible para ese valor de $a$
II) Si $a \neq -2$ las tres ecuaciones son linealmente independientes, luego el rango del sistema es $3$, y al ser igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado
b)
Si $a=1 \neq -2$ hemos visto que el sistema es compatible determinado; procedemos a calcular la solución, sustituyendo el valor del parámetro que se nos da en el sistema reducido ( recordemos que es equivalente al original ):
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&&3\,x&=&3\\
\end{matrix}\right.$$
De la tercera ecuación, encontramos $x=2$; sustiyendo este valor en la segunda ecuación, vemos que $y=2\cdot 2 = 5 \Rightarrow y=1$; y, a su vez, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, encontramos el valor de $z$: $z+2+1=2 \Rightarrow z=-1$
$\square$
La duración de cierto componente electrónico, en horas (h), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica igual a ...
ENUNCIADO
La duración de cierto componente electrónico, en horas (h), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica igual a $1000 \, \text{h}$.
a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de esos componentes electrónicos de tamaño $81$ y la media muestral de su duración ha sido $\bar{x}=8000 \, \text{h}$. Calcúlese un intervalo de confianza al $99\,\%$ para $\mu$.
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre $7904$ y $8296$ horas para una muestra aleatoria simple de tamaño $100$ si sabemos que $\mu=8100 \, \text{h}$ ?
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
(a)
Un intervalo de confianza para $\mu$ se escribe de la forma $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E) \quad \quad (1)$. Conocemos el valor de la media muestral, $\bar{x}=8000$, y nos falta determinar el valor del máximo error en la estimación de $\mu$ por intervalo de confianza ( dado un cierto nivel de confianza, $1-\alpha = 1-0'99=0'01$ ).
Sabemos que $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$, siendo $\sigma(\bar{x})$ la desviación típica, en el muestreo, del estimador ( del estadístico ) $\bar{x}$ de $\mu$, que es igual a $\sigma / \sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ). En el caso que nos ocupa, $\alpha/2=0'01/2=0'005$; por tanto, como $P\{Z \le z_{0'005} \}=1-0'005=0'995$, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad de la variable tipificada, $N(0,1)$, encontramos el valor de la abscisa $z_{0'005} \approx 2'58$
Por otra parte, la desviación típica del estimador $\bar{x}$ ( variable aleatoria ) de $\mu$ en el muestreo es $\sigma/\sqrt{n}=1000/\sqrt{81}=1000/9 \, \text{h}$
Así, encontramos que el error máximo en la estimación ( semi-amplitud del intervalo de confianza ) es $ E = 2'58 \cdot \dfrac{1000}{9} \approx 287 \, \text{h}$. Con lo cual, de (1), el intervalo pedido es $$(8000-287\,,\,8000+287)$$ esto es $$I_{99\,\%}(\mu)=(7713\,,\,8287)\quad \quad \text{( en horas )}$$
(b)
La variable aleatoria $\bar{x}$ con la que se estima $\mu$ tiene una distribución ( en el muestreo ) $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$ ( Teorema Central del Límite ).
Se nos pide que calculemos $P\{ 7904 \le \bar{x} \le 8296 \}$.
Tipifiquemos la variable del estimador de $\mu$, $\bar{x}$, mediante la transformación $$\bar{x} \rightarrow Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$$ así, $Z$ es $N(0,1)$.
Por otra parte, teniendo en cuenta ahora que el tamaño muestral es $n=100$ y asumiendo que $\sigma = 1000 \, \text{h}$, calculamos la desviación típica en el muestro de la v.a. $\bar{x}$ en esta nueva situación, y encontramos que $\sigma/\sqrt{n} = 1000/\sqrt{100} = 100 \, \text{h}$.
Así,
$P\{ 7904 \le \bar{x} \le 8296 \}=P\{ \dfrac{7904-8000}{100} \le Z \le \dfrac{8296-8000}{100} \}$
$= P\{ -0'96 \le Z \le 2'96 \}=P\{ Z \le 2'96 \} - P\{ Z \prec -0'96 \}$
$= P\{ Z \le 2'96 \} - P\{ Z \succ 0'96 \}$ ( por ser simétrica la función de densidad $f(z)$ )
$= P\{ Z \le 2'96 \} - ( 1 - P\{ Z \le 0'96 ) \}$ ( por la probabilidad del suceso contrario )
$= P\{ Z \le 2'96 \} + P\{ Z \le 0'96 ) - 1 \}$
$\overset{\text{tablas} N(0,1)}{=} 0'9985 + 0'8315 - 1$
$= 0'83$
$\square$
La duración de cierto componente electrónico, en horas (h), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica igual a $1000 \, \text{h}$.
a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de esos componentes electrónicos de tamaño $81$ y la media muestral de su duración ha sido $\bar{x}=8000 \, \text{h}$. Calcúlese un intervalo de confianza al $99\,\%$ para $\mu$.
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre $7904$ y $8296$ horas para una muestra aleatoria simple de tamaño $100$ si sabemos que $\mu=8100 \, \text{h}$ ?
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
(a)
Un intervalo de confianza para $\mu$ se escribe de la forma $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E) \quad \quad (1)$. Conocemos el valor de la media muestral, $\bar{x}=8000$, y nos falta determinar el valor del máximo error en la estimación de $\mu$ por intervalo de confianza ( dado un cierto nivel de confianza, $1-\alpha = 1-0'99=0'01$ ).
Sabemos que $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$, siendo $\sigma(\bar{x})$ la desviación típica, en el muestreo, del estimador ( del estadístico ) $\bar{x}$ de $\mu$, que es igual a $\sigma / \sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ). En el caso que nos ocupa, $\alpha/2=0'01/2=0'005$; por tanto, como $P\{Z \le z_{0'005} \}=1-0'005=0'995$, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad de la variable tipificada, $N(0,1)$, encontramos el valor de la abscisa $z_{0'005} \approx 2'58$
Por otra parte, la desviación típica del estimador $\bar{x}$ ( variable aleatoria ) de $\mu$ en el muestreo es $\sigma/\sqrt{n}=1000/\sqrt{81}=1000/9 \, \text{h}$
Así, encontramos que el error máximo en la estimación ( semi-amplitud del intervalo de confianza ) es $ E = 2'58 \cdot \dfrac{1000}{9} \approx 287 \, \text{h}$. Con lo cual, de (1), el intervalo pedido es $$(8000-287\,,\,8000+287)$$ esto es $$I_{99\,\%}(\mu)=(7713\,,\,8287)\quad \quad \text{( en horas )}$$
(b)
La variable aleatoria $\bar{x}$ con la que se estima $\mu$ tiene una distribución ( en el muestreo ) $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$ ( Teorema Central del Límite ).
Se nos pide que calculemos $P\{ 7904 \le \bar{x} \le 8296 \}$.
Tipifiquemos la variable del estimador de $\mu$, $\bar{x}$, mediante la transformación $$\bar{x} \rightarrow Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$$ así, $Z$ es $N(0,1)$.
Por otra parte, teniendo en cuenta ahora que el tamaño muestral es $n=100$ y asumiendo que $\sigma = 1000 \, \text{h}$, calculamos la desviación típica en el muestro de la v.a. $\bar{x}$ en esta nueva situación, y encontramos que $\sigma/\sqrt{n} = 1000/\sqrt{100} = 100 \, \text{h}$.
Así,
$P\{ 7904 \le \bar{x} \le 8296 \}=P\{ \dfrac{7904-8000}{100} \le Z \le \dfrac{8296-8000}{100} \}$
$= P\{ -0'96 \le Z \le 2'96 \}=P\{ Z \le 2'96 \} - P\{ Z \prec -0'96 \}$
$= P\{ Z \le 2'96 \} - P\{ Z \succ 0'96 \}$ ( por ser simétrica la función de densidad $f(z)$ )
$= P\{ Z \le 2'96 \} - ( 1 - P\{ Z \le 0'96 ) \}$ ( por la probabilidad del suceso contrario )
$= P\{ Z \le 2'96 \} + P\{ Z \le 0'96 ) - 1 \}$
$\overset{\text{tablas} N(0,1)}{=} 0'9985 + 0'8315 - 1$
$= 0'83$
$\square$
Sean $A$ y $B$ sucesos de un experimento aleatorio tales que ...
ENUNCIADO
Sean $A$ y $B$ sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A \cap B)=0,3$; $P(A \cap \bar{B})=0,2$ y $P(B)=0,7$. Calcúlese:
a) $P(A \cup B)$
b) $P(B|\bar{A})$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Por la fórmula de inclusión-exclusión podemos escribir
$$P(A \cup B ) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$
con lo cual
$$P(A \cup B ) = P(A)+0,7-0,3$$
y por tanto
$$P(A \cup B ) = P(A)+0,4 \quad \quad (1)$$
Por otra parte
$$P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)$$
luego
$$0,2=P(A)-0,3 \Rightarrow P(A)=0,5$$
y sustituyendo en (1) encontramos que
$$P(A \cup B )=0,2+0,4=0,6$$
b)
De la definición de probabilidad condicionada
$$P(B|\bar{A})=\dfrac{P(B \cap \bar{A})}{P(\bar{A})} \quad \quad (2)$$
por otra parte
$$P(B \cap \bar{A})=P(B)-P(B \cap A)=0,7-0,3=0,4$$
y
$$P(\bar{A})=1-P(A)=1-0,5=0,5$$
Con lo que, sustituyendo estos dos resultados en (2), llegamos a
$$P(B|\bar{A})=\dfrac{0,4}{0,5} =0,8$$
$\square$
Sean $A$ y $B$ sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A \cap B)=0,3$; $P(A \cap \bar{B})=0,2$ y $P(B)=0,7$. Calcúlese:
a) $P(A \cup B)$
b) $P(B|\bar{A})$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Por la fórmula de inclusión-exclusión podemos escribir
$$P(A \cup B ) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$
con lo cual
$$P(A \cup B ) = P(A)+0,7-0,3$$
y por tanto
$$P(A \cup B ) = P(A)+0,4 \quad \quad (1)$$
Por otra parte
$$P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)$$
luego
$$0,2=P(A)-0,3 \Rightarrow P(A)=0,5$$
y sustituyendo en (1) encontramos que
$$P(A \cup B )=0,2+0,4=0,6$$
b)
De la definición de probabilidad condicionada
$$P(B|\bar{A})=\dfrac{P(B \cap \bar{A})}{P(\bar{A})} \quad \quad (2)$$
por otra parte
$$P(B \cap \bar{A})=P(B)-P(B \cap A)=0,7-0,3=0,4$$
y
$$P(\bar{A})=1-P(A)=1-0,5=0,5$$
Con lo que, sustituyendo estos dos resultados en (2), llegamos a
$$P(B|\bar{A})=\dfrac{0,4}{0,5} =0,8$$
$\square$
miércoles, 17 de junio de 2015
Ejercicio sobre intervalos de confianza de la media poblacional
ENUNCIADO
El tiempo de reacción ante un obstáculo imprevisto de los conductores de automóviles de un país, en milisegundos ( ms ), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica ( estándar ) $\sigma=250 \, \text{ms}$
a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene un intervalo de confianza $(701\,,\,799)$, expresado en ms, para $\mu$ con un nivel de confianza del $95\,\%$. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $25$. Calcúlese el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ mediante la media muestral con un nivel de confianza del $80\,\%$.
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
(a)
Un intervalo de confianza para $\mu$ se escribe de la forma $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$. La media muestral, $\bar{x}$, es por tanto igual al centro del intervalo; como conocemos los extremos del mismo, $\bar{x}=\dfrac{199+701}{2}=750 \, \text{ms}$
El máximo error en la estimación de $\mu$ por intervalo de confianza ( dado un cierto nivel de confianza, $1-\alpha$ ) se denota por $E$ y representa la semi-amplitud de dicho intervalo, que, en este caso, es igual a $\dfrac{799-701}{2}=49$. Sabemos que $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$, siendo $\sigma(\bar{x})$ la desviación típica, en el muestreo, del estimador ( del estadístico ) $\bar{x}$ de $\mu$, que es igual a $\sigma / \sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ).
Teniendo en cuenta que $1-\alpha=0'95$, obtenemos $\alpha/2=0'025$; y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad de la variable normal tipificada $N(0,1)$, vemos que la abscisa $z_{0'025}$ viene dada por $P\{Z \le z_{0'025} \}=1-0'025=0'975$, y es igual a $1'96$.
De todo lo dicho en el párrafo anterior, podemos escribir $$49=\dfrac{1'96\cdot 250}{\sqrt{n}}$$ de donde, despejando el tamaño muestral $n$, obtenemos $$n=\left( \dfrac{1'96 \cdot 250}{49} \right)^2=100$$
(b)
Si, ahora, $1-\alpha=0'8$, $\alpha/2=0'1$. Y teniendo en cuenta que el error máximo ( semi-amplitud del intervalo de confianza ) viene dado, en este caso, por $E=z_{0'1} \, \dfrac{250}{\sqrt{25}}$, procedemos a obtener la abscisa $z_{0'1}$ consultando las tablas de la distribución de probabilidad de la variable normal tipificada $N(0,1)$; como $P\{Z \le z_{0'1}=1-0'1=0'9$, leemos en ellas que $z_{0'1} \approx 2'33$. Por tanto, el error máximo pedido es $E=2'33 \, \dfrac{250}{\sqrt{25}}=23'3 \, \text{ms}$
$\square$
El tiempo de reacción ante un obstáculo imprevisto de los conductores de automóviles de un país, en milisegundos ( ms ), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica ( estándar ) $\sigma=250 \, \text{ms}$
a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene un intervalo de confianza $(701\,,\,799)$, expresado en ms, para $\mu$ con un nivel de confianza del $95\,\%$. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $25$. Calcúlese el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ mediante la media muestral con un nivel de confianza del $80\,\%$.
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
(a)
Un intervalo de confianza para $\mu$ se escribe de la forma $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$. La media muestral, $\bar{x}$, es por tanto igual al centro del intervalo; como conocemos los extremos del mismo, $\bar{x}=\dfrac{199+701}{2}=750 \, \text{ms}$
El máximo error en la estimación de $\mu$ por intervalo de confianza ( dado un cierto nivel de confianza, $1-\alpha$ ) se denota por $E$ y representa la semi-amplitud de dicho intervalo, que, en este caso, es igual a $\dfrac{799-701}{2}=49$. Sabemos que $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$, siendo $\sigma(\bar{x})$ la desviación típica, en el muestreo, del estimador ( del estadístico ) $\bar{x}$ de $\mu$, que es igual a $\sigma / \sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ).
Teniendo en cuenta que $1-\alpha=0'95$, obtenemos $\alpha/2=0'025$; y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad de la variable normal tipificada $N(0,1)$, vemos que la abscisa $z_{0'025}$ viene dada por $P\{Z \le z_{0'025} \}=1-0'025=0'975$, y es igual a $1'96$.
De todo lo dicho en el párrafo anterior, podemos escribir $$49=\dfrac{1'96\cdot 250}{\sqrt{n}}$$ de donde, despejando el tamaño muestral $n$, obtenemos $$n=\left( \dfrac{1'96 \cdot 250}{49} \right)^2=100$$
(b)
Si, ahora, $1-\alpha=0'8$, $\alpha/2=0'1$. Y teniendo en cuenta que el error máximo ( semi-amplitud del intervalo de confianza ) viene dado, en este caso, por $E=z_{0'1} \, \dfrac{250}{\sqrt{25}}$, procedemos a obtener la abscisa $z_{0'1}$ consultando las tablas de la distribución de probabilidad de la variable normal tipificada $N(0,1)$; como $P\{Z \le z_{0'1}=1-0'1=0'9$, leemos en ellas que $z_{0'1} \approx 2'33$. Por tanto, el error máximo pedido es $E=2'33 \, \dfrac{250}{\sqrt{25}}=23'3 \, \text{ms}$
$\square$
En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde ...
ENUNCIADO
En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde. Se extraen al azar, de forma consecutiva y sin reemplazamiento, dos bolas de dicha bolsa. Calcúlese la probabilidad de que:
a) Las dos bolas sean del mismo color
b) La primera bola haya sido verde si la segunda bola extraída es roja
PAU 2015, Madrid
SOLUCIÓN
(a)
La probabilidad pedida es $P( (R_1 \cap R_2) \cup ( V_1 \cap V_2 )) = P( R_1 \cap R_2 ) + P( V_1 \cap V_2 )$ ( por ser incompatibles dichas uniones ); por otra parte, $P( V_1 \cap V_2 ) = 0 $ ( ya que sólo hay una bola verde en la bolsa y, por tanto, una vez extraída ésta, no puede volver a aparecer en la segunda extracción ); y, por por la definición de probabilidad condicionada, $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1)\,P(R_2 | R_1) = \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{4-1}{5-1}=\dfrac{3}{5}$
(b)
La probabilidad que ahora se pide es $P( V_1 | R_2 )$. Entonces, por el Teorema de Bayes, $P( V_1 | R_2 ) = \dfrac{P(R_2|V_1)\,P(V_1)}{P(R_2|V_1)\,P(V_1)+P(R_2|R_1)\,P(R_1)}$
$=\dfrac{(1/5)\cdot 1}{(1/5)\cdot 1+(4/5)(3/4)}=\dfrac{1}{4}$
$\square$
En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde. Se extraen al azar, de forma consecutiva y sin reemplazamiento, dos bolas de dicha bolsa. Calcúlese la probabilidad de que:
a) Las dos bolas sean del mismo color
b) La primera bola haya sido verde si la segunda bola extraída es roja
PAU 2015, Madrid
SOLUCIÓN
(a)
La probabilidad pedida es $P( (R_1 \cap R_2) \cup ( V_1 \cap V_2 )) = P( R_1 \cap R_2 ) + P( V_1 \cap V_2 )$ ( por ser incompatibles dichas uniones ); por otra parte, $P( V_1 \cap V_2 ) = 0 $ ( ya que sólo hay una bola verde en la bolsa y, por tanto, una vez extraída ésta, no puede volver a aparecer en la segunda extracción ); y, por por la definición de probabilidad condicionada, $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1)\,P(R_2 | R_1) = \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{4-1}{5-1}=\dfrac{3}{5}$
(b)
La probabilidad que ahora se pide es $P( V_1 | R_2 )$. Entonces, por el Teorema de Bayes, $P( V_1 | R_2 ) = \dfrac{P(R_2|V_1)\,P(V_1)}{P(R_2|V_1)\,P(V_1)+P(R_2|R_1)\,P(R_1)}$
$=\dfrac{(1/5)\cdot 1}{(1/5)\cdot 1+(4/5)(3/4)}=\dfrac{1}{4}$
$\square$
miércoles, 3 de junio de 2015
Ejemplo de función continua pero no derivable en un cierto punto
ENUNCIADO
¿ Tiene la función $f(x)=|x|$ algún mínimo local ?
SOLUCIÓN
Recordemos que un punto se dice críto si la función no es derivable en dicho punto o bien si, siendo la función derivable en él, su derivada es cero; en este segundo caso, se denomina punto crítico estacionario.
A la vista de la gráfica de la función valor absoluto de un número real, es evidente que ésta alcanza su mínimo absoluto en $x=0$, punto en el que, desde luego, también tiene un mínimo local; sin embargo, esta función no es derivable en dicho punto ( a pesar de ser continua en él ), tratándose pues, también, de un punto crítico, aunque que este mínimo local, en particular, es evidente que no será detectado mediante el procedimiento de anular la primera derivada a cero, esto es, el de encontrar los puntos estacionarios de la función.
Comentario 1:
Recordemos que para hallar los extremos relativos de una función ( máximos y mínimos locales ), deben encontrarse, primero, los puntos críticos; y, a continuación, se procederá a su clasificación, mediante los criterios del signo de la primera derivada o bien del criterio del signo de la segunda derivada.
Comentario 2:
Para determinar los máximos y mínimos absolutos de la función en el dominio de la misma, deberemos seleccionar el menor de los mínimos locales y el mayor de los máximos locales; y, además, los valores de la frontera del dominio que puedan dar lugar a valores de función menores que el menor mínimo y mayores que el mayor máximo, respectivamente. Así, en este ejemplo, al ser $D_d = \mathbb{R}$, y no tener más que un mínimo local como extremo relativo, también es éste el mínimo absoluto de la función. Por otra parte, esta función no tiene máximos locales, y al no estar acatada superiormente, no tiene máximo absoluto.
$\square$
¿ Tiene la función $f(x)=|x|$ algún mínimo local ?
SOLUCIÓN
Recordemos que un punto se dice críto si la función no es derivable en dicho punto o bien si, siendo la función derivable en él, su derivada es cero; en este segundo caso, se denomina punto crítico estacionario.
A la vista de la gráfica de la función valor absoluto de un número real, es evidente que ésta alcanza su mínimo absoluto en $x=0$, punto en el que, desde luego, también tiene un mínimo local; sin embargo, esta función no es derivable en dicho punto ( a pesar de ser continua en él ), tratándose pues, también, de un punto crítico, aunque que este mínimo local, en particular, es evidente que no será detectado mediante el procedimiento de anular la primera derivada a cero, esto es, el de encontrar los puntos estacionarios de la función.
Comentario 1:
Recordemos que para hallar los extremos relativos de una función ( máximos y mínimos locales ), deben encontrarse, primero, los puntos críticos; y, a continuación, se procederá a su clasificación, mediante los criterios del signo de la primera derivada o bien del criterio del signo de la segunda derivada.
Comentario 2:
Para determinar los máximos y mínimos absolutos de la función en el dominio de la misma, deberemos seleccionar el menor de los mínimos locales y el mayor de los máximos locales; y, además, los valores de la frontera del dominio que puedan dar lugar a valores de función menores que el menor mínimo y mayores que el mayor máximo, respectivamente. Así, en este ejemplo, al ser $D_d = \mathbb{R}$, y no tener más que un mínimo local como extremo relativo, también es éste el mínimo absoluto de la función. Por otra parte, esta función no tiene máximos locales, y al no estar acatada superiormente, no tiene máximo absoluto.
$\square$
Una empresa genera unos ingresos por unidad de tiempo que ...
ENUNCIADO
Una empresa genera unos ingresos por unidad de tiempo que vienen dados por la siguiente función, $f(t)=-(t-1)^2+3$ ( tasa instantánea de variación de los ingresos ), y sus valores vienen expresados en unidades monetarias por unidad de tiempo; por otra parte, la tasa instantánea de variación de los gastos de la empresa viene dada por la función $g(t)=-(t-1)^2-1$ ( expresados en unidades monetarias por unidad de tiempo ) [Las unidades monetarias, así como las de tiempo, son arbitrarias ]. ¿ Cuál es el beneficio neto al cabo de $2$ unidades de tiempo ?.
SOLUCIÓN
Integrando la función tasa instantánea de variación de los beneficios, que es igual a $f(t)-g(t)=-(t-1)^2+3 - (-(t-1)^2-1)=4$ ( ingreso menos coste ), entre los instantes de tiempo $0$ y $2$, obtenemos $$\int_{0}^{2}\,4\,dt=4\,\left[ t \right]_{0}^2=4\,(2-0)=8 \; \text{unidades monetarias}$$
$\square$
Una empresa genera unos ingresos por unidad de tiempo que vienen dados por la siguiente función, $f(t)=-(t-1)^2+3$ ( tasa instantánea de variación de los ingresos ), y sus valores vienen expresados en unidades monetarias por unidad de tiempo; por otra parte, la tasa instantánea de variación de los gastos de la empresa viene dada por la función $g(t)=-(t-1)^2-1$ ( expresados en unidades monetarias por unidad de tiempo ) [Las unidades monetarias, así como las de tiempo, son arbitrarias ]. ¿ Cuál es el beneficio neto al cabo de $2$ unidades de tiempo ?.
SOLUCIÓN
Integrando la función tasa instantánea de variación de los beneficios, que es igual a $f(t)-g(t)=-(t-1)^2+3 - (-(t-1)^2-1)=4$ ( ingreso menos coste ), entre los instantes de tiempo $0$ y $2$, obtenemos $$\int_{0}^{2}\,4\,dt=4\,\left[ t \right]_{0}^2=4\,(2-0)=8 \; \text{unidades monetarias}$$
$\square$
lunes, 1 de junio de 2015
La producción de cierta hortaliza en un invernadero
ENUNCIADO
La producción de cierta hortaliza en un invernadero, $f(x)$ ( en kilogramos ), depende de la temperatura, $x$ ( en grados centígrados ), según la expresión $f(x)=(x+1)^{2}\,(32-x)$. El dominio de definición de la función $f(x)$ es $D_f=(15\,,40) \subset \mathbb{R}$ ¿ Para qué valor de la temperatura se da la máxima producción ?
SOLUCIÓN
Busquemos, primero, los máximos locales. Imponiendo la condición de extremo relativo, $f'(x)=0$, encontramos $$-3(x-21)(x+1)=0 \Leftrightarrow x_1=21 \; \text{ó} \; x_2=-1 \notin D_f$$
Como la función segunda derivada es $f''(x)=60-6x$, vemos que $f''(21) \prec 0$, y por tanto $x_1=21$ corresponde a un máximo local ( como era de esperar ), que, además, no puede ser otro que el máximo absoluto, dada la naturaleza de la función y el dominio de definición de la misma. El valor de dicho máximo ( la máxima producción ) es $f(21)=(21+1)^2\,(32-21)=5324 \;\text{kilogramos}$
$\square$
La producción de cierta hortaliza en un invernadero, $f(x)$ ( en kilogramos ), depende de la temperatura, $x$ ( en grados centígrados ), según la expresión $f(x)=(x+1)^{2}\,(32-x)$. El dominio de definición de la función $f(x)$ es $D_f=(15\,,40) \subset \mathbb{R}$ ¿ Para qué valor de la temperatura se da la máxima producción ?
SOLUCIÓN
Busquemos, primero, los máximos locales. Imponiendo la condición de extremo relativo, $f'(x)=0$, encontramos $$-3(x-21)(x+1)=0 \Leftrightarrow x_1=21 \; \text{ó} \; x_2=-1 \notin D_f$$
Como la función segunda derivada es $f''(x)=60-6x$, vemos que $f''(21) \prec 0$, y por tanto $x_1=21$ corresponde a un máximo local ( como era de esperar ), que, además, no puede ser otro que el máximo absoluto, dada la naturaleza de la función y el dominio de definición de la misma. El valor de dicho máximo ( la máxima producción ) es $f(21)=(21+1)^2\,(32-21)=5324 \;\text{kilogramos}$
$\square$
Consideremos el siguiente modelo de oferta y demanda ...
ENUNCIADO
Consideremos el siguiente modelo de oferta y demanda: $f(p)=2p-10$ ( oferta ) y $g(p)=\dfrac{2800}{p}$ ( demanda), denotando por $p$ el precio de venta. Se pide:
a) Dibujar las gráficas de dichas funciones en un mismo diagrama
b) Calcular las coordenadas del punto de equilibrio
c) ¿ Dónde corta la gráfica de la función de oferta el eje de abscisas ? ¿ Qué significado económico tiene ese punto ?
SOLUCIÓN
a)
El dominio de existencia de sendas funciones, $f$ y $g$, ( atendiendo al significado del modelo que representan ) es $(0\,,\,+\infty)$, ya que los valores negativos de $p$ no tienen sentido, por lo tanto nos restringimos al primer cuadrante. La gráfica de cada es la siguiente:
b)
Imponiendo la condición de equilibrio $$f(p)=g(p)$$ encontramos la siguiente ecuación $$2p-10=\dfrac{2800}{p}$$ que equivale a $$p^2-5p-1400=0$$ cuya solución viene dada por $$p=\dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot (-1400)}}{2\cdot 1 }$$
obteniendo dos valores; uno de ellos es negativo, por lo que no es solución del problema ( no pertenece al dominio de existencia de las funciones del modelo ), y el otro es positivo: $p=40$; ésta es la abscisa del punto de equilibrio $A$ ( en la gráfica ); su ordenada es $f(40)=g(40)=70$.
c)
La raíz de la función de oferta $f(p)$ ( abscisa del punto de corte de la gráfica con el eje de abscisas ) viene dada por $$f(p)=0$$ de donde ( puento $B$ en el gráfico ) $$2p-10=0 \Rightarrow p=5$$ Para este valor del precio de venta, la oferta es nula; y, la demanda tiene un valor alto: $g(5)=\dfrac{2800}{5}=560$
$\square$
Consideremos el siguiente modelo de oferta y demanda: $f(p)=2p-10$ ( oferta ) y $g(p)=\dfrac{2800}{p}$ ( demanda), denotando por $p$ el precio de venta. Se pide:
a) Dibujar las gráficas de dichas funciones en un mismo diagrama
b) Calcular las coordenadas del punto de equilibrio
c) ¿ Dónde corta la gráfica de la función de oferta el eje de abscisas ? ¿ Qué significado económico tiene ese punto ?
SOLUCIÓN
a)
El dominio de existencia de sendas funciones, $f$ y $g$, ( atendiendo al significado del modelo que representan ) es $(0\,,\,+\infty)$, ya que los valores negativos de $p$ no tienen sentido, por lo tanto nos restringimos al primer cuadrante. La gráfica de cada es la siguiente:
b)
Imponiendo la condición de equilibrio $$f(p)=g(p)$$ encontramos la siguiente ecuación $$2p-10=\dfrac{2800}{p}$$ que equivale a $$p^2-5p-1400=0$$ cuya solución viene dada por $$p=\dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot (-1400)}}{2\cdot 1 }$$
obteniendo dos valores; uno de ellos es negativo, por lo que no es solución del problema ( no pertenece al dominio de existencia de las funciones del modelo ), y el otro es positivo: $p=40$; ésta es la abscisa del punto de equilibrio $A$ ( en la gráfica ); su ordenada es $f(40)=g(40)=70$.
c)
La raíz de la función de oferta $f(p)$ ( abscisa del punto de corte de la gráfica con el eje de abscisas ) viene dada por $$f(p)=0$$ de donde ( puento $B$ en el gráfico ) $$2p-10=0 \Rightarrow p=5$$ Para este valor del precio de venta, la oferta es nula; y, la demanda tiene un valor alto: $g(5)=\dfrac{2800}{5}=560$
$\square$
viernes, 29 de mayo de 2015
(...) ¿ Cuántas unidades deben ponerse a la venta para que haya equilibrio entre la oferta y la demanda ?
ENUNCIADO
Considérese la función de demanda $g(x)=\dfrac{100}{x+1}$, donde $x$ denota el número artículos demandados ( en millares de unidades ), y $g(x)$ viene expresada en euros por cada millar de unidades. Mediante un estudio de mercado, se ha llegado a la conclusión de que el precio ( en euros ) por millar de unidades se ajusta a la función $f(x)=x+1$ ( modelo de oferta ). ¿ Cuál es el dominio que debemos considerar para la función de oferta ? ¿ Cuántas unidades deben ponerse a la venta para que haya equilibrio entre la oferta y la demanda ? ¿ Cuál es el precio unitario de este artículo en el punto de equilibrio ?.
SOLUCIÓN
Atendiendo al significado del modelo matemático, el dominio de la función $g(x)$ es $[0,\,\,+\infty)$ ( en millares de unidades ). Los puntos de equilibrio vienen dado por la intersección de ambas curvas, luego deben satisfacer la siguiente ecuación, $g(x)=f(x)$, es decir $$\dfrac{100}{x+1}=x+1 \Leftrightarrow (x+1)^2=100$$ de lo cual deducimos que $x=9$ millares de unidades y $f(x)=9+1=10$ euros por cada mil unidades.
$\square$
Considérese la función de demanda $g(x)=\dfrac{100}{x+1}$, donde $x$ denota el número artículos demandados ( en millares de unidades ), y $g(x)$ viene expresada en euros por cada millar de unidades. Mediante un estudio de mercado, se ha llegado a la conclusión de que el precio ( en euros ) por millar de unidades se ajusta a la función $f(x)=x+1$ ( modelo de oferta ). ¿ Cuál es el dominio que debemos considerar para la función de oferta ? ¿ Cuántas unidades deben ponerse a la venta para que haya equilibrio entre la oferta y la demanda ? ¿ Cuál es el precio unitario de este artículo en el punto de equilibrio ?.
SOLUCIÓN
Atendiendo al significado del modelo matemático, el dominio de la función $g(x)$ es $[0,\,\,+\infty)$ ( en millares de unidades ). Los puntos de equilibrio vienen dado por la intersección de ambas curvas, luego deben satisfacer la siguiente ecuación, $g(x)=f(x)$, es decir $$\dfrac{100}{x+1}=x+1 \Leftrightarrow (x+1)^2=100$$ de lo cual deducimos que $x=9$ millares de unidades y $f(x)=9+1=10$ euros por cada mil unidades.
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miércoles, 27 de mayo de 2015
Calcular el área delimitada por las siguientes curvas ...
ENUNCIADO
Calcular el área de la región del plano delimitada por las curvas $f(x))=x^2-3$ y $g(x)=-(x-1)^2+1$
SOLUCIÓN:
El área pedida es igual a $$\left| \int_{x_A}^{x_B}\,(f(x)-g(x)\,dx \right|$$ es decir $$\left| \int_{x_A}^{x_B}\,(2x^2-2x-3)\,dx \right|$$ siendo los límites de integración, $x_A$ y $x_B$, las soluciones de la ecuación $$f(x)=g(x)$$ esto es $$x^2-3=-(x-1)^2+1$$ que resultan ser $$x_A=\dfrac{2-\sqrt{28}}{4} \; \text{y}\;x_A=\dfrac{2+\sqrt{28}}{4}$$ Aplicando la regla de Barrow obtenemos $$\left| \left[ \dfrac{2}{3}\,x^3-x^2-3x \right]_{x_A}^{x_B}\right|$$ esto es $$\left| \dfrac{2}{3}\,(x_{B}^3-x_{A}^3)-(x_{B}^2-x_{A}^2)-3\,(x_{B}-x_{A}) \right| \approx \left|-6,17\right|=6,17$$
$\square$
Calcular el área de la región del plano delimitada por las curvas $f(x))=x^2-3$ y $g(x)=-(x-1)^2+1$
SOLUCIÓN:
$\square$
Calcular el área delimitada entre ...
ENUNCIADO
Calcular el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones $f(x)=x^2+2$ y $g(x)=3$
SOLUCIÓN
Las abscisas de los puntos de intersección de las dos curvas vienen dadas por $$f(x)=g(x)$$ es decir $$x^2+2=3 \Leftrightarrow x=\pm 1$$ Por tanto el área pedida es igual a $$\left| \int_{-1}^{1} (f(x)-g(x))\,dx \right|$$ y como el dominio de integración es simétrico respecto del eje de ordenadas, esto es igual a $$2 \left| \,\int_{0}^{1} (f(x)-g(x))\,dx \right| = 2 \left|\,\int_{0}^{1} (3-(x^2+2))\,dx \right|=$$
$$=2 \left|\,\int_{0}^{1} (-x^2+1))\,dx\right|=2\,\left| \left[ -\dfrac{1}{3}\,x^3+x \right]_{0}^{1} \right|$$
$$=2\left((-\dfrac{1}{3}\cdot 1^3+1)-(0+0)\right)=2\,(-\dfrac{1}{3}+1)=2\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$$
$\square$
Calcular el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones $f(x)=x^2+2$ y $g(x)=3$
SOLUCIÓN
Las abscisas de los puntos de intersección de las dos curvas vienen dadas por $$f(x)=g(x)$$ es decir $$x^2+2=3 \Leftrightarrow x=\pm 1$$ Por tanto el área pedida es igual a $$\left| \int_{-1}^{1} (f(x)-g(x))\,dx \right|$$ y como el dominio de integración es simétrico respecto del eje de ordenadas, esto es igual a $$2 \left| \,\int_{0}^{1} (f(x)-g(x))\,dx \right| = 2 \left|\,\int_{0}^{1} (3-(x^2+2))\,dx \right|=$$
$$=2 \left|\,\int_{0}^{1} (-x^2+1))\,dx\right|=2\,\left| \left[ -\dfrac{1}{3}\,x^3+x \right]_{0}^{1} \right|$$
$$=2\left((-\dfrac{1}{3}\cdot 1^3+1)-(0+0)\right)=2\,(-\dfrac{1}{3}+1)=2\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$$
martes, 26 de mayo de 2015
Calcular el siguiente límite
ENUNCIADO
Calcular el límite $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\left(x\,\sin{(\dfrac{1}{x})}\right)$$
SOLUCIÓN
Démonos cuenta de que, al pasar al límite, el factor $x$ del argumento del límite tiende a $0$, permaneciendo el segundo factor, $\sin{(\dfrac{1}{x}}$, acotado entre $-1$ y $1$; por lo tanto $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\left(x\,\sin{(\dfrac{1}{x})}\right)=0$$
$\square$
Calcular el límite $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\left(x\,\sin{(\dfrac{1}{x})}\right)$$
SOLUCIÓN
Démonos cuenta de que, al pasar al límite, el factor $x$ del argumento del límite tiende a $0$, permaneciendo el segundo factor, $\sin{(\dfrac{1}{x}}$, acotado entre $-1$ y $1$; por lo tanto $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\left(x\,\sin{(\dfrac{1}{x})}\right)=0$$
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lunes, 25 de mayo de 2015
El precio de coste de un cierto artículo ...
ENUNCIADO
El precio de coste de un cierto artículo es de $80$ euros. Se sabe que si el precio de venta del mismo es de $130$ euros, el número de ventas es igual a $1000$; y, además, se observa que por cada euro que aumente o disminuya el precio de venta, el número de ventas disminuye o aumenta, respectivamente, en $60$. ¿ Cuál es el precio de venta que maximiza los beneficios ? ¿Cuántas unidades de dicho artículo se venderán con dicho precio de venta? ¿Cuál es el beneficio ( máximo ) que se obtendrá en estas condiciones ?.
SOLUCIÓN
Denotemos por $n$ el número de ventas y por $x$ el precio de venta. Estas variables estan ligadas por la función lineal afín $n(x)=-60x+k$. Calculemos el valor de la ordenada en el origen, $k$; para ello, impongamos que para $x=130$, $n=1000$; por tanto, $1000=-60\cdot 130+k$, de donde obtenemos $k=8800$; así, pues, $n=-60x+8800$. Con esto, podemos expresar la función de beneficios, $f$, en función de $x$; en efecto, como, por definición, el beneficio es igual a los ingresos debidos a las ventas menos los gastos debidos a los costes, $f(x)=(-60x+8800)(x-80)$. Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, obtenemos $$-60(x-80)+(8800-60x)=0$$ de donde, despejando $x$, se llega a $$-120x+13600=0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1360}{12} \approx 113,33 \; \text{euros}$$ Se comprueba que se trata de un máximo por ser la función $f(x)$ una función polinómica de segundo grado ( dicho extremo corresponde a la abscisa del vértice ), y al ser negativo el coeficiente del término de grado dos, no puede corresponder éste sino a un máximo. Además, es el máximo absoluto de la función, dada la naturaleza de ésta.
El número de unidades que se venderán, en estas condiciones, es igual a $n(\dfrac{1360}{12})=-60\cdot \dfrac{1360}{12}+8800=2000\;\text{unidades}$.
El máximo beneficio, en estas condiciones, es igual a $f\left(\dfrac{1360}{12}\right)=(-60\cdot \dfrac{1360}{12}+8800)(\dfrac{1360}{12}-80)\approx 66\,666,67\; \text{euros}$
$\square$
El precio de coste de un cierto artículo es de $80$ euros. Se sabe que si el precio de venta del mismo es de $130$ euros, el número de ventas es igual a $1000$; y, además, se observa que por cada euro que aumente o disminuya el precio de venta, el número de ventas disminuye o aumenta, respectivamente, en $60$. ¿ Cuál es el precio de venta que maximiza los beneficios ? ¿Cuántas unidades de dicho artículo se venderán con dicho precio de venta? ¿Cuál es el beneficio ( máximo ) que se obtendrá en estas condiciones ?.
SOLUCIÓN
Denotemos por $n$ el número de ventas y por $x$ el precio de venta. Estas variables estan ligadas por la función lineal afín $n(x)=-60x+k$. Calculemos el valor de la ordenada en el origen, $k$; para ello, impongamos que para $x=130$, $n=1000$; por tanto, $1000=-60\cdot 130+k$, de donde obtenemos $k=8800$; así, pues, $n=-60x+8800$. Con esto, podemos expresar la función de beneficios, $f$, en función de $x$; en efecto, como, por definición, el beneficio es igual a los ingresos debidos a las ventas menos los gastos debidos a los costes, $f(x)=(-60x+8800)(x-80)$. Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, obtenemos $$-60(x-80)+(8800-60x)=0$$ de donde, despejando $x$, se llega a $$-120x+13600=0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1360}{12} \approx 113,33 \; \text{euros}$$ Se comprueba que se trata de un máximo por ser la función $f(x)$ una función polinómica de segundo grado ( dicho extremo corresponde a la abscisa del vértice ), y al ser negativo el coeficiente del término de grado dos, no puede corresponder éste sino a un máximo. Además, es el máximo absoluto de la función, dada la naturaleza de ésta.
El número de unidades que se venderán, en estas condiciones, es igual a $n(\dfrac{1360}{12})=-60\cdot \dfrac{1360}{12}+8800=2000\;\text{unidades}$.
El máximo beneficio, en estas condiciones, es igual a $f\left(\dfrac{1360}{12}\right)=(-60\cdot \dfrac{1360}{12}+8800)(\dfrac{1360}{12}-80)\approx 66\,666,67\; \text{euros}$
$\square$
Un barco se desplaza a ...
ENUNCIADO
Un barco que se desplaza a velocidad constante, $v$ ( en kilómetros por hora ), consume $200 +0,1\,v^3$ litros de combustible cada hora. ¿ A qué velocidad debe desplazarse a fin de minimizar el gasto de combustible al realizar un trayecto de $d$ kilómetros ?.
SOLUCIÓN
El tiempo que dura la navegación ( en horas ) es $d/v$, luego el gasto de combustible ( para realizar el trayecto ) en función de la velocidad es $$f(v)=\dfrac{d}{v}\,(200+0,1\,v^3)$$ esto es $$f(v)=d\,(\dfrac{200}{v}+0,1\,v^2)$$
Imponiendo la condición necesaria de extremos relativos $$f'(v)=0$$ obtenemos $$-\dfrac{200}{v^2}+0,2v=0 \Leftrightarrow -200+0,1\,v^3=0 \Leftrightarrow v=\sqrt[3]{1000}=10\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$$
Comprobemos que se trata de un mínimo local; para ello, utilizaremos aquí el criterio de la segunda derivada. Derivando la función derivada obtenemos la función segunda derivada $$f''(v)=\dfrac{400}{v^3+0,2}$$ cuyo valor para el punto crítico es positivo $$f''(10)=\dfrac{400}{1000}+0,2 \succ 0$$
con lo cual queda demostrado que la velocidad encontrada corresponde a un mínimo relativo de $f(v)$; además, como la función está definida sólo para $v \succ 0$, y $\displaystyle \lim_{v \rightarrow \infty}\,f(v)=+\infty$, dicho mínimo relativo es el mínimo absoluto de la función lo cual puede visualizarse también en la gráfica de la función:
El gasto mínimo de combustible es por tanto, $f(10)=30d$.
$\square$
Un barco que se desplaza a velocidad constante, $v$ ( en kilómetros por hora ), consume $200 +0,1\,v^3$ litros de combustible cada hora. ¿ A qué velocidad debe desplazarse a fin de minimizar el gasto de combustible al realizar un trayecto de $d$ kilómetros ?.
SOLUCIÓN
El tiempo que dura la navegación ( en horas ) es $d/v$, luego el gasto de combustible ( para realizar el trayecto ) en función de la velocidad es $$f(v)=\dfrac{d}{v}\,(200+0,1\,v^3)$$ esto es $$f(v)=d\,(\dfrac{200}{v}+0,1\,v^2)$$
Imponiendo la condición necesaria de extremos relativos $$f'(v)=0$$ obtenemos $$-\dfrac{200}{v^2}+0,2v=0 \Leftrightarrow -200+0,1\,v^3=0 \Leftrightarrow v=\sqrt[3]{1000}=10\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$$
Comprobemos que se trata de un mínimo local; para ello, utilizaremos aquí el criterio de la segunda derivada. Derivando la función derivada obtenemos la función segunda derivada $$f''(v)=\dfrac{400}{v^3+0,2}$$ cuyo valor para el punto crítico es positivo $$f''(10)=\dfrac{400}{1000}+0,2 \succ 0$$
con lo cual queda demostrado que la velocidad encontrada corresponde a un mínimo relativo de $f(v)$; además, como la función está definida sólo para $v \succ 0$, y $\displaystyle \lim_{v \rightarrow \infty}\,f(v)=+\infty$, dicho mínimo relativo es el mínimo absoluto de la función lo cual puede visualizarse también en la gráfica de la función:
$\square$
Una persona invierte ...
ENUNCIADO
Una persona invierte un total de $7000$ euros en acciones de las empresas A y B y en un depósito a $12$ meses al $1\,\%$. Pasado un año, vende sus acciones, obteniendo una [rentabilidad] del $5\,\%$ en las acciones de la empresa A y del $3\,\%$ en las de B. El beneficio total de sus tres inversiones es $202$ euros. Determinar qué cantidad destinó a cada inversión si sabemos que el dinero total destinado a comprar acciones superó en $2600$ al dinero del depósito.
SOLUCIÓN
Denotando por $x$ a la inversión en acciones de la empresa A; $y$, a la inversión en acciones de la empresa B; y, $z$ al depósito a $12$ meses, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
0,05x & + & 0,03y & + & 0,01z & = 202\\
x & + & y & - & z & = 2600\\
\end{matrix}\right.$$ es decir $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
5x & + & 3y & + & z & = 20200\\
x & + & y & - & z & = 2600\\
\end{matrix}\right.$$
Procedemos a reducirlo por Gauss. Restando la primera ecuación de la tercera y sustituyendo ésta por el resultado de dicha operación obtenemos ( simplificando esta última ) el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
5x & + & 3y & + & z & = 20200\\
& & & & z & =2200\\
\end{matrix}\right.$$
Multiplicando por $-5$ la primera ecuación y sumando a la segunda, miembro a miembro, y simplficando, obtenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
& + & y & + & 2z & = 7400\\
& & & & z & =2200\\
\end{matrix}\right.$$
Vemos así que el rango del sistema de ecuaciones es $3$ y que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado ( como cabría esperar ). Sustituyendo y despejando hacia arriba, a partir del resultado de la última ecuación, $z=2200\;\text{euros}$, obtenemos: $y=3000\;\text{euros}$, y $x=1800\,\text{euros}$. $\square$
Una persona invierte un total de $7000$ euros en acciones de las empresas A y B y en un depósito a $12$ meses al $1\,\%$. Pasado un año, vende sus acciones, obteniendo una [rentabilidad] del $5\,\%$ en las acciones de la empresa A y del $3\,\%$ en las de B. El beneficio total de sus tres inversiones es $202$ euros. Determinar qué cantidad destinó a cada inversión si sabemos que el dinero total destinado a comprar acciones superó en $2600$ al dinero del depósito.
SOLUCIÓN
Denotando por $x$ a la inversión en acciones de la empresa A; $y$, a la inversión en acciones de la empresa B; y, $z$ al depósito a $12$ meses, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
0,05x & + & 0,03y & + & 0,01z & = 202\\
x & + & y & - & z & = 2600\\
\end{matrix}\right.$$ es decir $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
5x & + & 3y & + & z & = 20200\\
x & + & y & - & z & = 2600\\
\end{matrix}\right.$$
Procedemos a reducirlo por Gauss. Restando la primera ecuación de la tercera y sustituyendo ésta por el resultado de dicha operación obtenemos ( simplificando esta última ) el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
5x & + & 3y & + & z & = 20200\\
& & & & z & =2200\\
\end{matrix}\right.$$
Multiplicando por $-5$ la primera ecuación y sumando a la segunda, miembro a miembro, y simplficando, obtenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
& + & y & + & 2z & = 7400\\
& & & & z & =2200\\
\end{matrix}\right.$$
Vemos así que el rango del sistema de ecuaciones es $3$ y que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado ( como cabría esperar ). Sustituyendo y despejando hacia arriba, a partir del resultado de la última ecuación, $z=2200\;\text{euros}$, obtenemos: $y=3000\;\text{euros}$, y $x=1800\,\text{euros}$. $\square$
En un cierto instante, un apersona empieza a propagar un rumor ...
ENUNCIADO
Una persona empieza a propagar un rumor en un grupo de mil personas en el instante inicial ( $t=0$ horas ). Se sabe que dicho rumor se difunde a un ritmo que viene dado por la función $f(t)=2^t$ ( personas por hora ). Se pide:
a) ¿ Cuál es la función que expresa el número de personas que están al corriente del rumor en cada instante de tiempo ?
b) ¿ Cuál es el porcentaje de la población que conoce el rumor al cabo de $8$ horas ?
SOLUCIÓN
a) La función pedida, que denotamos por $F(t)$, es una primitiva de la función que expresa el ritmo de difusión del rumor, $f(t)$; y, para determinarla, hallaremos primero la familia de funciones primitivas de $f$, esto es, la integral indefinida de $f(t)$ $$\int\,f(t)\,dt = \int \,2^t\,dt = \dfrac{1}{\ln{2}}\,2^t+C \quad \quad (1)$$
Para calcular el valor de la constante de integración, imponemos la condición $F(0)=1$, con lo cual $$1=\dfrac{1}{\ln{2}}\cdot 2^0 + C$$ despejando $C$, obtenemos $$C=1-\dfrac{1}{ln{2}}$$ Sustituyendo el valor de la constante en (1) obtenemos la función pedida $$F(t)=\dfrac{1}{\ln{2}}(2^t-1)+1$$
b) El número de personas a las que les ha llegado el rumor ( incluyendo a la persona que lo propagó ) al cabo de $8$ horas es igual a $$F(8)=\dfrac{1}{\ln{2}}(2^8-1)+1=\dfrac{255}{\ln{2}}+1 \approx 369 \,\text{personas}$$
Observación:
Otra forma de calcular esto es la siguiente: el número de personas que han sido objeto de la transmisión del rumor al cabo de $8$ horas es $$\displaystyle \int_{0}^{8}\,2^t\,dt$$ que es igual a $$\left[\dfrac{1}{\ln{2}}\,2^t \right]_{0}^{8}=\dfrac{255}{\ln{2}}\approx 368$$
Ahora bien, sumando a esta cantidad la persona que lo ha transmitido, obtenemos el resultado calculado de la primera forma, $369$ personas. Por consiguiente, el porcentaje pedido es $\dfrac{369}{1000}=36'9 \,\%$ $\square$
Una persona empieza a propagar un rumor en un grupo de mil personas en el instante inicial ( $t=0$ horas ). Se sabe que dicho rumor se difunde a un ritmo que viene dado por la función $f(t)=2^t$ ( personas por hora ). Se pide:
a) ¿ Cuál es la función que expresa el número de personas que están al corriente del rumor en cada instante de tiempo ?
b) ¿ Cuál es el porcentaje de la población que conoce el rumor al cabo de $8$ horas ?
SOLUCIÓN
a) La función pedida, que denotamos por $F(t)$, es una primitiva de la función que expresa el ritmo de difusión del rumor, $f(t)$; y, para determinarla, hallaremos primero la familia de funciones primitivas de $f$, esto es, la integral indefinida de $f(t)$ $$\int\,f(t)\,dt = \int \,2^t\,dt = \dfrac{1}{\ln{2}}\,2^t+C \quad \quad (1)$$
Para calcular el valor de la constante de integración, imponemos la condición $F(0)=1$, con lo cual $$1=\dfrac{1}{\ln{2}}\cdot 2^0 + C$$ despejando $C$, obtenemos $$C=1-\dfrac{1}{ln{2}}$$ Sustituyendo el valor de la constante en (1) obtenemos la función pedida $$F(t)=\dfrac{1}{\ln{2}}(2^t-1)+1$$
b) El número de personas a las que les ha llegado el rumor ( incluyendo a la persona que lo propagó ) al cabo de $8$ horas es igual a $$F(8)=\dfrac{1}{\ln{2}}(2^8-1)+1=\dfrac{255}{\ln{2}}+1 \approx 369 \,\text{personas}$$
Observación:
Otra forma de calcular esto es la siguiente: el número de personas que han sido objeto de la transmisión del rumor al cabo de $8$ horas es $$\displaystyle \int_{0}^{8}\,2^t\,dt$$ que es igual a $$\left[\dfrac{1}{\ln{2}}\,2^t \right]_{0}^{8}=\dfrac{255}{\ln{2}}\approx 368$$
Ahora bien, sumando a esta cantidad la persona que lo ha transmitido, obtenemos el resultado calculado de la primera forma, $369$ personas. Por consiguiente, el porcentaje pedido es $\dfrac{369}{1000}=36'9 \,\%$ $\square$
viernes, 22 de mayo de 2015
Una muestra aleatoria simple ...
ENUNCIADO. Una muestra aleatoria simple de $100$ alumnos que se presentan a un examen de ingreso a la Universidad revela que la media de edad, $\bar{x}$, en dicha muestra es de $18'7$ años. Se desea estimar la media de edad, $\mu$, de la población de estudiantes que se presentan a dicha prueba, calculando un intervalo de confianza para dicho parámetro de la población. Por tanto, se pide:
a) Un intervalo de confianza de $\mu$, al $90\,\%$ de confianza, sabiendo que la desviación estándar de la población, $\sigma$, es igual a $0'8$ años.
b) El valor del error que se comete al estimar, de ese modo, el parámetro $\mu$
SOLUCIÓN.
a)
Por el Teorema Central del Límite, la variable aleatoria "edad", $X \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, siendo $n$ es el tamaño de la muestra ( $n=100$ ) y $\sigma/\sqrt{n}$ la desviación en el muestreo del estimador de la media muestral, $\bar{x}$ ( que denotamos por $\sigma(\bar{x})$. Así, al ser $\sigma=0'8$, $\sigma/\sqrt{n}=0'8/10=0'08$, la distribución de $X$ es $N(\mu\,,\,0'08)$.
El intervalo de confianza en la estimación de $\mu$ es, por tanto, $I=(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$ (1), donde la mitad de la longitud del intervalo, centrado en $\bar{x}$, representa una cota del error pedido, que, como ya sabemos, es igual a $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$ (2), que se pide explícitamente en el segundo apartado.
Necesitamos, por tanto, determinar el valor de la abscisa $z_{\alpha/2}$; para ello, utilizamos las tablas de la variable normalizada/tipificada $Z$, que es $N(0,1)$. Procedemos a ello: como el nivel de confianza, $1-\alpha$, es igual a $0'9$ ( en tanto por unidad ), encontramos que $\alpha/2=(1-0'9)/2=0'05$ ( por ser simétrica la función de densidad $f(z)$ respecto del eje de ordenadas ); teniendo en cuenta que $P\{Z \le z_{0'05}=1-0'05=0'95$ y consultando este valor en el interior de las tablas, encontramos el valor de la abscisa crítica correspondiente, $z_{0'05} \approx 1'65$.
Por tanto, de (1), encontramos que el intervalo de confianza para $\mu$, al $90\,\%$ de confianza es $$I=(18'7-1'65\cdot0'08\,,\,18'7+1'65\cdot0'08)$$ esto es $$I=(18'5\,,\,18'9)$$
b)
El error, $E$, que corresponde a dicho intervalo de confianza ( que ya hemos empleado al calcular los extremos del mismo ) es igual, de (2), a $1'65 \cdot 0'08 = 0'132 \prec 0'2$ años.
Nota: En otras palabras, podemos afirmar que la media $\mu$ de la edad de la población de estudiantes ( que se presenta al examen ) es igual a $\bar{x} \pm E$ con un nivel de confianza $1-\alpha$; en concreto: la media $\mu$ de la edad de la población de estudiantes ( que se presenta al examen ) es igual a $18'7 \pm 0'2$ con un nivel de confianza del $90\,\%$
$\square$
a) Un intervalo de confianza de $\mu$, al $90\,\%$ de confianza, sabiendo que la desviación estándar de la población, $\sigma$, es igual a $0'8$ años.
b) El valor del error que se comete al estimar, de ese modo, el parámetro $\mu$
SOLUCIÓN.
a)
Por el Teorema Central del Límite, la variable aleatoria "edad", $X \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, siendo $n$ es el tamaño de la muestra ( $n=100$ ) y $\sigma/\sqrt{n}$ la desviación en el muestreo del estimador de la media muestral, $\bar{x}$ ( que denotamos por $\sigma(\bar{x})$. Así, al ser $\sigma=0'8$, $\sigma/\sqrt{n}=0'8/10=0'08$, la distribución de $X$ es $N(\mu\,,\,0'08)$.
El intervalo de confianza en la estimación de $\mu$ es, por tanto, $I=(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$ (1), donde la mitad de la longitud del intervalo, centrado en $\bar{x}$, representa una cota del error pedido, que, como ya sabemos, es igual a $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$ (2), que se pide explícitamente en el segundo apartado.
Necesitamos, por tanto, determinar el valor de la abscisa $z_{\alpha/2}$; para ello, utilizamos las tablas de la variable normalizada/tipificada $Z$, que es $N(0,1)$. Procedemos a ello: como el nivel de confianza, $1-\alpha$, es igual a $0'9$ ( en tanto por unidad ), encontramos que $\alpha/2=(1-0'9)/2=0'05$ ( por ser simétrica la función de densidad $f(z)$ respecto del eje de ordenadas ); teniendo en cuenta que $P\{Z \le z_{0'05}=1-0'05=0'95$ y consultando este valor en el interior de las tablas, encontramos el valor de la abscisa crítica correspondiente, $z_{0'05} \approx 1'65$.
Por tanto, de (1), encontramos que el intervalo de confianza para $\mu$, al $90\,\%$ de confianza es $$I=(18'7-1'65\cdot0'08\,,\,18'7+1'65\cdot0'08)$$ esto es $$I=(18'5\,,\,18'9)$$
b)
El error, $E$, que corresponde a dicho intervalo de confianza ( que ya hemos empleado al calcular los extremos del mismo ) es igual, de (2), a $1'65 \cdot 0'08 = 0'132 \prec 0'2$ años.
Nota: En otras palabras, podemos afirmar que la media $\mu$ de la edad de la población de estudiantes ( que se presenta al examen ) es igual a $\bar{x} \pm E$ con un nivel de confianza $1-\alpha$; en concreto: la media $\mu$ de la edad de la población de estudiantes ( que se presenta al examen ) es igual a $18'7 \pm 0'2$ con un nivel de confianza del $90\,\%$
$\square$
Resolver el siguiente ejerccio de programación lineal
ENUNCIADO. Considerar el siguiente sistema de restricciones
$$\left\{\begin{matrix}
x & \ge & 0\\
y & \ge & 3\\
x+y & \le & 10\\
2y & \ge & 3x\\
\end{matrix}\right.$$
¿ En qué puntos de la región alcanza el máximo y el mínimo la función objetivo $f(x,y)=4x+3y$ ? ¿ Cuáles son los valores de función en dichos puntos ?.
SOLUCIÓN.
El siguiente gráfico ( realizado con Geogebra ) ilustra el resumen de la resolución del problema
La ordenada en el origen, $k$, de cada una de las rectas de la familia de la función objetivo, representa el valor de $\dfrac{1}{3}\cdot F(x_P,y_P)$, para cada punto $P(x_P,y_P)$ de la región factible; evidentemente, el máximo de $k$ se da para el mismo punto que el máximo de $F(x,y)$, y lo propio podemos decir en cuanto al mínimo. Así, examinando el gráfico, puede verse que el máximo de $F(x,y)$ lo da el punto $C(4,6)$, que es igual a $F(4,6)=4\cdot 4 + 3 \cdot 6 = 34$, y el valor mínimo lo da el punto $A(0,3)$, que es igual a $F(0,3)=4\cdot 0+3 \cdot 3=9$.
Nota: la barra deslizadora de la imagen permite, con Geogebra, hacer que las rectas de la función objetivo recorran los puntos de la región factible.
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$$\left\{\begin{matrix}
x & \ge & 0\\
y & \ge & 3\\
x+y & \le & 10\\
2y & \ge & 3x\\
\end{matrix}\right.$$
¿ En qué puntos de la región alcanza el máximo y el mínimo la función objetivo $f(x,y)=4x+3y$ ? ¿ Cuáles son los valores de función en dichos puntos ?.
SOLUCIÓN.
El siguiente gráfico ( realizado con Geogebra ) ilustra el resumen de la resolución del problema
Nota: la barra deslizadora de la imagen permite, con Geogebra, hacer que las rectas de la función objetivo recorran los puntos de la región factible.
$\square$
Sea el sistema de ecuaciones lineales ...
ENUNCIADO. Sea el sistema de ecuaciones lineales
$$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y &+& z& = & 1 \\
x &- &y &-& z& = & 0 \\
x &+ &y &+& m\,z& = & -1 \\
\end{matrix}\right.$$
Se pide:
a) Analizar el sistema en función de los valores que tome el parámetro $m \in \mathbb{R}$
b) Resolver el sistema para $m:=-1$
SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss ( $f_1-f_2 \rightarrow f_2$; $f_1-f_3 \rightarrow f_3$ ) obtenemos el siguiente sistema equivalente al original $$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y &+& z& = & 1 \\
& &2y &+& 2z& = & 1 \\
& & &+& (1-m)\,z& = & -1 \\
\end{matrix}\right.$$
de donde deducimos que en el caso de que $1-m$ sea cero ( y por tanto, $m$ sea igual a $1$ ), el sistema es incompatible ya que se llega así a una contradicción ( $0 = -1$ ); por lo tanto, el sistema es incompatible para $m=1$. Para cualquier otro valor de $m$ las tres ecuaciones son linelamente independientes: el rango del sistema es $3$, valor que es igual al número de incógnitas; así, pues, por el Teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado para todo valor de $m$ distinto de $1$.
b)
Teniendo en cuenta, ahora, el valor de $m$ ha de ser ( condición del enunciado ) igual a $-1$, el sistema de ecuaciones a resolver ( ya reducido ) es $$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y &+& z& = & 1 \\
& &2y &+& 2z& = & 1 \\
& & &+& 2z& = & -1 \\
\end{matrix}\right.$$
que, como ya se ha demostrado, tiene solución única ( por ser $m \neq 1 $ ). Entonces, despejando $z$ de la última ecuación, obtenemos $z=-\dfrac{1}{2}$; sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$, llegamos a $y=1$; y, finalmente, sustituyendo los valores de $x$ e $y$, que hemos encontrado en los dos pasos anteriores, en la primera ecuación, y despejando $x$, vemos que $x=\dfrac{1}{2}$.
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y &+& z& = & 1 \\
x &- &y &-& z& = & 0 \\
x &+ &y &+& m\,z& = & -1 \\
\end{matrix}\right.$$
Se pide:
a) Analizar el sistema en función de los valores que tome el parámetro $m \in \mathbb{R}$
b) Resolver el sistema para $m:=-1$
SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss ( $f_1-f_2 \rightarrow f_2$; $f_1-f_3 \rightarrow f_3$ ) obtenemos el siguiente sistema equivalente al original $$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y &+& z& = & 1 \\
& &2y &+& 2z& = & 1 \\
& & &+& (1-m)\,z& = & -1 \\
\end{matrix}\right.$$
de donde deducimos que en el caso de que $1-m$ sea cero ( y por tanto, $m$ sea igual a $1$ ), el sistema es incompatible ya que se llega así a una contradicción ( $0 = -1$ ); por lo tanto, el sistema es incompatible para $m=1$. Para cualquier otro valor de $m$ las tres ecuaciones son linelamente independientes: el rango del sistema es $3$, valor que es igual al número de incógnitas; así, pues, por el Teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado para todo valor de $m$ distinto de $1$.
b)
Teniendo en cuenta, ahora, el valor de $m$ ha de ser ( condición del enunciado ) igual a $-1$, el sistema de ecuaciones a resolver ( ya reducido ) es $$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y &+& z& = & 1 \\
& &2y &+& 2z& = & 1 \\
& & &+& 2z& = & -1 \\
\end{matrix}\right.$$
que, como ya se ha demostrado, tiene solución única ( por ser $m \neq 1 $ ). Entonces, despejando $z$ de la última ecuación, obtenemos $z=-\dfrac{1}{2}$; sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$, llegamos a $y=1$; y, finalmente, sustituyendo los valores de $x$ e $y$, que hemos encontrado en los dos pasos anteriores, en la primera ecuación, y despejando $x$, vemos que $x=\dfrac{1}{2}$.
$\square$
Expresar el número $a$ como suma de ...
ENUNCIADO. Expresar el número $a \neq 0$ como suma de otros dos números de modo que el producto de ambos sea el mayor posible.
SOLUCIÓN. Denotando por $x$ uno de los dos sumandos, podemos expresar la función producto de los dos como $$f(x)=x\,(a-x)$$
Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, encontramos $$a-2x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{a}{2}$$
abscisa que corresponde a un máximo relativo de la función, ya que, por el criterio del signo de la segunda derivada, $f''(x)=-2 \prec 0$. Además, dicho máximo relativo/local es el máximo absoluto de la función, por ser ésta una función polinómica de segundo grado y corresponder dicho extremo relativo a la abscisa del vértice. Así, pues, el valor máximo de la función pedida es $f \left( \dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{a}{2}\,\left( a-\dfrac{a}{2}\right)=\left( \dfrac{a}{2} \right)^2$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotando por $x$ uno de los dos sumandos, podemos expresar la función producto de los dos como $$f(x)=x\,(a-x)$$
Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, encontramos $$a-2x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{a}{2}$$
abscisa que corresponde a un máximo relativo de la función, ya que, por el criterio del signo de la segunda derivada, $f''(x)=-2 \prec 0$. Además, dicho máximo relativo/local es el máximo absoluto de la función, por ser ésta una función polinómica de segundo grado y corresponder dicho extremo relativo a la abscisa del vértice. Así, pues, el valor máximo de la función pedida es $f \left( \dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{a}{2}\,\left( a-\dfrac{a}{2}\right)=\left( \dfrac{a}{2} \right)^2$
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