Sabiendo que la derivada de una función real de variable real $f$ es ...

ENUNCIADO
Sabiendo que la derivada de una función real de variable real $f$ es $f'(x)=3\,x^2+2\,x$,

a) Calcúlese la expresión $f(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(1,4)$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto $P(1,4)$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN

a)
Por el Primer Teorema Fundamental del Calculo podemos escribir $$f(x)=\int\,(3x^2+2x)\,dx=x^3+x^2+C$$ Teniendo en cuenta, ahora, que $f(1)=4$, de lo anterior vemos que $$4=1^3+1^2+C \Leftrightarrow C=2$$ con lo cual, la función pedida es $$f(x)=x^3+x^2+2$$

b)
Como la función dada es continua y derivable ( para todo valor de $x$ en el caso que nos ocupa ), teniendo en cuenta el Teorema del Valor Medio en un intervalo que incluya el punto $x=1$, podemos escribir que
$$f'(1)=\dfrac{y-f(1)}{x-1}$$
de donde, despejando $y$, se deduce que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=1$ viene dada por
$$y=f(1)+f'(1)\,(x-1) \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
La función derivada de $f$ es
$$f'(x)=3\,x^2+2\,x$$
luego la derivada en el punto pedido es
$$f'(1)=3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 5$$
por lo que, sustituyendo en (1), obtenemos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $P(1,4)$:
$$y=5x-1$$
$\square$

[nota del autor]