Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales ...

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependientes del parámetro $k$
$$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
x & + & ky & + & z &=&3\\
kx & & & - & 3z &=&6\\
\end{matrix}\right.$$
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de $k$
b) Resuélvase el sistema para $k=3$

SOLUCIÓN.
a)
Vamos a estudiar los rangos de la matriz de los coeficientes $$A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1& k &1 \\
k& 0 &-3
\end{pmatrix}$$
y de la matriz ampliada
$$
A^*=
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
1& k &1 & 3\\
k& 0 &-3 & 6
\end{array}\right) $$
Para ello emplearemos el método de los menores ( el rango de una matriz es igual al orden del mayor menor no nulo ).

El menor de mayor orden de $A$ es
$$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
1& k &1 \\
k& 0 &-3
\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow -k^2-2k+3=0 \Leftrightarrow k=\left\{\begin{matrix}
-3 \\
\text{ó}\\
1
\end{matrix}\right.$$
Por tanto, $\text{rg}(A)=3$ si $k \notin \{-3\,,\,1\}$

Examinemos, ahora, la matriz $A^*$. Y, por ello, veamos si hay algún menor de orden $2$ no nulo. Observemos que el determinante de la submatriz $\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
-3& 6 \\
\end{pmatrix} \neq 0$, luego podemos asegurar que el rango de $A^*$ es, al menos, $2$. A continuación, vamos a orlar dicha submatriz para estudiar para qué valores de $k$ las submatrices de un orden mayor ( esto es, de orden $3$ ) que aparecen como amplicación de la matriz ( de orden $2$ ) que hemos tomado como referencia, y calculemos sus determinantes. Nos salen solamente estos dos:
$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 3\\
1& 1 &3 \\
k& -3 & 6
\end{vmatrix}=0 \; \text{, por ser iguales sus dos primeras filas}$
y
$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 3\\
k& 1 &3 \\
0& -3 & 6
\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow k=1$

Entonces, $\text{rg}(A^*)=3$ si $k \neq 1$

Con esta información recogida, podemos distinguir los siguientes casos ( teorema de Rouché-Fröbenius ):

I) Si $k=-3$, $\text{rg}(A)=2 \neq \text{rg}(A^*)=3$, luego el sistema es incompatible.

II ) Si $k=1$, $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=2$, luego el sistema es compatible. Y, como el valor del rango, $r$, es menor que el número de incógnitas, $n$ ( que es $3$ ), el sistema es compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria ( y $2$ variables principales). NOTA: Este caso lo detectamos a "simple vista", sin necesidad de entrar en el análisis con matrices, pues si $k=1$ la segunda ecuación es idéntica a la primera y, por tanto, el rango del sistema de ecuaciones, $r$, del sistema es $2$. Y, si bien, no se pida, puede el lector leer la solución ( para este caso ) siguiendo [ este enlace ]

III ) Si $k \notin \{-3\,,\,1\}$, entonces $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3=n$, luego el sistema es compatible determinado.

OBSERVACIÓN. Para realizar el estudio de rangos, en lugar de utilizar el método de los menores, también podemos emplear el método de reducción de Gauss ( dada una matriz, una vez reducida por Gauss una matriz ( forma escalonada ), el rango de la misma es igual al número de filas no idénticamente nulas ). Partimos de la matriz ampliada
$$A^*=
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
1& k &1 & 3\\
k& 0 &-3 & 6
\end{array}\right) $$
que, mediante operaciones elementales por filas, vamos reduciendo a su forma escalonada, obteniendo las sucesivas matrices equivalentes en rango en el proceso de escalonamiento. Así, mediante $f_1-f_2 \rightarrow f_2$ y $-kf_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a la primera etapa
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 1-k &0 & 0\\
0& 0 &-k-3 & -3k+6
\end{array}\right) $$
ahora, mediante la $\dfrac{1}{k^2}\,f_2+(1-k)\,f_3 \rightarrow f_3$ ( con $k\neq 0$ )
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 1-k &0 & 0\\
0& 0 &-(k+3)(1-k) & -3(k-2)(1-k)
\end{array}\right) $$
y mediante $f_3 \rightarrow \dfrac{1}{1-k}\,f_3$, completamos la segunda etapa y obtenemos la matriz escalonada
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 1-k &0 & 0\\
0& 0 &-(k+3)& -3(k-2)
\end{array}\right) $$


Entonces,
I) Si $k=-3$, la matriz $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0& 4 &0 \\
0& 0 & 0
\end{pmatrix}$ tiene rango igual a $2$, pues, reducida por Gauss, el número de filas no nulas es $2$, mientras que la matriz ampliada $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 4 &0 & 0\\
0& 0 & 0 & 15
\end{array}\right) $ tiene $3$ filas no nulas, y, por tanto, su rango es igual a $3$. Por tanto, como los rangos de $A$ y $A^*$ no coinciden, el sistema es incompatible para este valor de $k$

II ) Si $k=1$, , la matriz $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0& 0 &0 \\
0& 0 & -4
\end{pmatrix}$ tiene rango igual a $2$, pues, reducida por Gauss, el número de filas no nulas es $2$; por otra parte, la matriz ampliada $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0& 0 &0 & 0\\
0& 0 & -4 & 3
\end{array}\right) $ tiene $2$ fila no nulas, y, por tanto, su rango es, también, igual a $2$. Por tanto, como los rangos de $A$ y $A^*$ coinciden, el rango del sistema de ecuaciones es $r=2 < n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variables secundaria ( y $2$ variables principales ). III ) Si $k \notin \{-3\,,\,1\}$, entonces el número de filas no nulas, tanto de $A$ como de $A^*$, es $3$. Por consiguiente, el rango del sistema de ecuaciones $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3=n$, luego el sistema es compatible determinado.
-oOo-
b) Si $k=3$ ( estamos en el caso II ), el sistema es compatible determinado. Vamos a resolver el sistema ( para este valor de $k$ ) por el método de reducción de Gauss ( si bien podemos elegir cualquier otro método: el de Cramer, o el de la matriz inversa, aunque en este caso se recomienda, por su simplicidad, el m. de Gauss ). Entonces, para $k=3$, el sistema queda
$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
x & + & 3y & + & z &=&3\\
3x & & & - & 3z &=&6\\
\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
x & + & 3y & + & z &=&3\\
x & & & - & z &=&2\\
\end{matrix}\right. $
Restando, miembro a miembro, la segunda ecuación de la primera obtenemos una ecuación equivalente a la segunda; y restando, miembro a miembro, la tercera ecuación de la primera llegamos a una ecuación equivalente a la tercera, con lo cual el siguiente sistema es equivalente al anterior
$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z &=&3\\
& + & 2y & & &=&0\\
& & -y & - & 2z &=&-1\\
\end{matrix}\right. $
De la segunda ecuación, se obtiene $y=0$. Para obtener el valor de las otras dos variables, sustituimos el valor obtenido ( para $y$ ) en la primera y tercera ecuaciones, llegando a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$\left\{\begin{matrix}
x & + & 0 & + & z &=&3\\
& & & - & 2z &=&-1\\
\end{matrix}\right. $
Así, de la segunda ecuación, vemos que $z=\dfrac{1}{2}$. Y, sustituyendo en la primera, $x+\dfrac{1}{2}=3$; con lo cual, $x=\dfrac{5}{2}$
$\square$