Resolver el sistema de ecuaciones compatible determinado

ENUNCIADO. Resuélvase el siguiene sistema de ecuaciones lineales, compatible determinado, eligiendo uno de los siguientes métodos: a) método de Cramer, o bien, b) método de la matriz inversa
$$\left\{\begin{matrix} 3x & + & y & & &=&-1\\ x & + & 4y & - & z &=&2\\ & & 2y & + & z &=&0\\ \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
En primer lugar, escribamos el sistema en forma matricial
$$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 1& 4 &-1 \\ 0& 2 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2\\ 0 \end{pmatrix}$$


Al objeto de que el alumno se detenga en la observación de los pasos a seguir en los dos métodos, se expondrán a continuación sendos desarrollos. No obstante, parece muy razonable ( en un examen ) elegir el método de Cramer, por su comodidad y facilidad.

a) Resolución por el método de Cramer
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}=\dfrac{-8}{17}=-\dfrac{8}{17}$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}=\dfrac{7}{17}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}=\dfrac{-14}{17}=-\dfrac{14}{17}$$

ya que

$$\text{det}(A)=\begin{vmatrix} 3 & 1 & 0\\ 1& 4 &-1 \\ 0& 2 &1 \end{vmatrix}=17$$

$$\text{det}(A_x)=\begin{vmatrix} \bf{-1} & 1 & 0\\ \bf{2}& 4 &-1 \\ \bf{0}& 2 &1 \end{vmatrix}=-8$$

$$\text{det}(A-y)=\begin{vmatrix} 3 & \bf{-1} & 0\\ 1& \bf{2} &-1 \\ 0& \bf{0} &1 \end{vmatrix}=7$$

$$\text{det}(A_z)=\begin{vmatrix} 3 & 1 & \bf{-1}\\ 1& 4 &\bf{2} \\ 0& 2 &\bf{0} \end{vmatrix}=-14$$

b) Resolvámoslo, ahora, por el método de la matriz inversa. Denotando por $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, por $X$ la matriz columna de las variables, por $I$ la matriz identidad ( de orden $3$ ), y por $B$ la matriz columna de los términos independientes, podemos escribir el sistema ( en forma matricial ) de la siguiente forma $$AX=B$$
Como el sistema es compatible determinado, sabemos que existe matriz inversa de $A$ ( que es única ). Así, multiplicando por $A^{-1}$, por la izquierda, en cada miembro de la igualdad matricial anterior
$$A^{-1}AX=A^{-1}B$$
luego
$$IX=A^{-1}B$$
y por tanto
$$X=A^{-1}B$$
producto de matrices que llevará al valor de cada una de las variables.

Debemos, pues, determinar la matriz inversa de $A$ para realizar el cálculo anterior, que podemos hacerlo [mediante el método de Gauss-Jordan], o bien, mediante el método de la matriz adjunta. En cualquier caso, la matriz inversa que sale es
$$A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{6}{17} & -\frac{1}{17} & -\frac{1}{17}\\ -\frac{1}{17}& \frac{3}{17} &\frac{3}{17} \\ \frac{2}{17}& -\frac{6}{17} & \frac{11}{17} \end{pmatrix}$$

Con lo cual,
$$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{6}{17} & -\frac{1}{17} & -\frac{1}{17}\\ -\frac{1}{17}& \frac{3}{17} &\frac{3}{17} \\ \frac{2}{17}& -\frac{6}{17} & \frac{11}{17} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{8}{17}\\ \frac{7}{17}\\ -\frac{14}{17}\\ \end{pmatrix}$$

$\square$