El precio de coste de un cierto artículo ...

ENUNCIADO
El precio de coste de un cierto artículo es de $80$ euros. Se sabe que si el precio de venta del mismo es de $130$ euros, el número de ventas es igual a $1000$; y, además, se observa que por cada euro que aumente o disminuya el precio de venta, el número de ventas disminuye o aumenta, respectivamente, en $60$. ¿ Cuál es el precio de venta que maximiza los beneficios ? ¿Cuántas unidades de dicho artículo se venderán con dicho precio de venta? ¿Cuál es el beneficio ( máximo ) que se obtendrá en estas condiciones ?.

SOLUCIÓN
Denotemos por $n$ el número de ventas y por $x$ el precio de venta. Estas variables estan ligadas por la función lineal afín $n(x)=-60x+k$. Calculemos el valor de la ordenada en el origen, $k$; para ello, impongamos que para $x=130$, $n=1000$; por tanto, $1000=-60\cdot 130+k$, de donde obtenemos $k=8800$; así, pues, $n=-60x+8800$. Con esto, podemos expresar la función de beneficios, $f$, en función de $x$; en efecto, como, por definición, el beneficio es igual a los ingresos debidos a las ventas menos los gastos debidos a los costes, $f(x)=(-60x+8800)(x-80)$. Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, obtenemos $$-60(x-80)+(8800-60x)=0$$ de donde, despejando $x$, se llega a $$-120x+13600=0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1360}{12} \approx 113,33 \; \text{euros}$$ Se comprueba que se trata de un máximo por ser la función $f(x)$ una función polinómica de segundo grado ( dicho extremo corresponde a la abscisa del vértice ), y al ser negativo el coeficiente del término de grado dos, no puede corresponder éste sino a un máximo. Además, es el máximo absoluto de la función, dada la naturaleza de ésta.

El número de unidades que se venderán, en estas condiciones, es igual a $n(\dfrac{1360}{12})=-60\cdot \dfrac{1360}{12}+8800=2000\;\text{unidades}$.

El máximo beneficio, en estas condiciones, es igual a $f\left(\dfrac{1360}{12}\right)=(-60\cdot \dfrac{1360}{12}+8800)(\dfrac{1360}{12}-80)\approx 66\,666,67\; \text{euros}$
$\square$

[nota del autor]