En un cierto instante, un apersona empieza a propagar un rumor ...

ENUNCIADO
Una persona empieza a propagar un rumor en un grupo de mil personas en el instante inicial ( $t=0$ horas ). Se sabe que dicho rumor se difunde a un ritmo que viene dado por la función $f(t)=2^t$ ( personas por hora ). Se pide:
a) ¿ Cuál es la función que expresa el número de personas que están al corriente del rumor en cada instante de tiempo ?
b) ¿ Cuál es el porcentaje de la población que conoce el rumor al cabo de $8$ horas ?

SOLUCIÓN
a) La función pedida, que denotamos por $F(t)$, es una primitiva de la función que expresa el ritmo de difusión del rumor, $f(t)$; y, para determinarla, hallaremos primero la familia de funciones primitivas de $f$, esto es, la integral indefinida de $f(t)$ $$\int\,f(t)\,dt = \int \,2^t\,dt = \dfrac{1}{\ln{2}}\,2^t+C \quad \quad (1)$$
Para calcular el valor de la constante de integración, imponemos la condición $F(0)=1$, con lo cual $$1=\dfrac{1}{\ln{2}}\cdot 2^0 + C$$ despejando $C$, obtenemos $$C=1-\dfrac{1}{ln{2}}$$ Sustituyendo el valor de la constante en (1) obtenemos la función pedida $$F(t)=\dfrac{1}{\ln{2}}(2^t-1)+1$$
b) El número de personas a las que les ha llegado el rumor ( incluyendo a la persona que lo propagó ) al cabo de $8$ horas es igual a $$F(8)=\dfrac{1}{\ln{2}}(2^8-1)+1=\dfrac{255}{\ln{2}}+1 \approx 369 \,\text{personas}$$

Observación:
Otra forma de calcular esto es la siguiente: el número de personas que han sido objeto de la transmisión del rumor al cabo de $8$ horas es $$\displaystyle \int_{0}^{8}\,2^t\,dt$$ que es igual a $$\left[\dfrac{1}{\ln{2}}\,2^t \right]_{0}^{8}=\dfrac{255}{\ln{2}}\approx 368$$
Ahora bien, sumando a esta cantidad la persona que lo ha transmitido, obtenemos el resultado calculado de la primera forma, $369$ personas. Por consiguiente, el porcentaje pedido es $\dfrac{369}{1000}=36'9 \,\%$   $\square$

[nota del autor]