Ejemplo de función continua pero no derivable en un cierto punto

ENUNCIADO
¿ Tiene la función $f(x)=|x|$ algún mínimo local ?

SOLUCIÓN
Recordemos que un punto se dice críto si la función no es derivable en dicho punto o bien si, siendo la función derivable en él, su derivada es cero; en este segundo caso, se denomina punto crítico estacionario.

A la vista de la gráfica de la función valor absoluto de un número real, es evidente que ésta alcanza su mínimo absoluto en $x=0$, punto en el que, desde luego, también tiene un mínimo local; sin embargo, esta función no es derivable en dicho punto ( a pesar de ser continua en él ), tratándose pues, también, de un punto crítico, aunque que este mínimo local, en particular, es evidente que no será detectado mediante el procedimiento de anular la primera derivada a cero, esto es, el de encontrar los puntos estacionarios de la función.

Comentario 1:
Recordemos que para hallar los extremos relativos de una función ( máximos y mínimos locales ), deben encontrarse, primero, los puntos críticos; y, a continuación, se procederá a su clasificación, mediante los criterios del signo de la primera derivada o bien del criterio del signo de la segunda derivada.

Comentario 2:
Para determinar los máximos y mínimos absolutos de la función en el dominio de la misma, deberemos seleccionar el menor de los mínimos locales y el mayor de los máximos locales; y, además, los valores de la frontera del dominio que puedan dar lugar a valores de función menores que el menor mínimo y mayores que el mayor máximo, respectivamente. Así, en este ejemplo, al ser $D_d = \mathbb{R}$, y no tener más que un mínimo local como extremo relativo, también es éste el mínimo absoluto de la función. Por otra parte, esta función no tiene máximos locales, y al no estar acatada superiormente, no tiene máximo absoluto.

$\square$