Expresar el número $a$ como suma de ...

ENUNCIADO. Expresar el número $a \neq 0$ como suma de otros dos números de modo que el producto de ambos sea el mayor posible.

SOLUCIÓN. Denotando por $x$ uno de los dos sumandos, podemos expresar la función producto de los dos como $$f(x)=x\,(a-x)$$
Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, encontramos $$a-2x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{a}{2}$$
abscisa que corresponde a un máximo relativo de la función, ya que, por el criterio del signo de la segunda derivada, $f''(x)=-2 \prec 0$. Además, dicho máximo relativo/local es el máximo absoluto de la función, por ser ésta una función polinómica de segundo grado y corresponder dicho extremo relativo a la abscisa del vértice. Así, pues, el valor máximo de la función pedida es $f \left( \dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{a}{2}\,\left( a-\dfrac{a}{2}\right)=\left( \dfrac{a}{2} \right)^2$
$\square$

[nota del autor]