Ejercicio sobre intervalos de confianza de la media poblacional

ENUNCIADO
El tiempo de reacción ante un obstáculo imprevisto de los conductores de automóviles de un país, en milisegundos ( ms ), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica ( estándar ) $\sigma=250 \, \text{ms}$

a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene un intervalo de confianza $(701\,,\,799)$, expresado en ms, para $\mu$ con un nivel de confianza del $95\,\%$. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.

b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $25$. Calcúlese el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ mediante la media muestral con un nivel de confianza del $80\,\%$.

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN

(a)
Un intervalo de confianza para $\mu$ se escribe de la forma $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$. La media muestral, $\bar{x}$, es por tanto igual al centro del intervalo; como conocemos los extremos del mismo, $\bar{x}=\dfrac{199+701}{2}=750 \, \text{ms}$

El máximo error en la estimación de $\mu$ por intervalo de confianza ( dado un cierto nivel de confianza, $1-\alpha$ ) se denota por $E$ y representa la semi-amplitud de dicho intervalo, que, en este caso, es igual a $\dfrac{799-701}{2}=49$. Sabemos que $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$, siendo $\sigma(\bar{x})$ la desviación típica, en el muestreo, del estimador ( del estadístico ) $\bar{x}$ de $\mu$, que es igual a $\sigma / \sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ).

Teniendo en cuenta que $1-\alpha=0'95$, obtenemos $\alpha/2=0'025$; y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad de la variable normal tipificada $N(0,1)$, vemos que la abscisa $z_{0'025}$ viene dada por $P\{Z \le z_{0'025} \}=1-0'025=0'975$, y es igual a $1'96$.

De todo lo dicho en el párrafo anterior, podemos escribir $$49=\dfrac{1'96\cdot 250}{\sqrt{n}}$$ de donde, despejando el tamaño muestral $n$, obtenemos $$n=\left( \dfrac{1'96 \cdot 250}{49} \right)^2=100$$

(b)
Si, ahora, $1-\alpha=0'8$, $\alpha/2=0'1$. Y teniendo en cuenta que el error máximo ( semi-amplitud del intervalo de confianza ) viene dado, en este caso, por $E=z_{0'1} \, \dfrac{250}{\sqrt{25}}$, procedemos a obtener la abscisa $z_{0'1}$ consultando las tablas de la distribución de probabilidad de la variable normal tipificada $N(0,1)$; como $P\{Z \le z_{0'1}=1-0'1=0'9$, leemos en ellas que $z_{0'1} \approx 2'33$. Por tanto, el error máximo pedido es $E=2'33 \, \dfrac{250}{\sqrt{25}}=23'3 \, \text{ms}$

$\square$

[nota del autor]