Resolver por el método de Cramer

ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema compatible determinado, empleando el método de Cramer
$$\left\{\begin{matrix}
x&-&y&+z&=&1 \\
&&y&-z&=&0 \\
-x&+&y&+z&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. Expresemos el sistema en forma matricial $$AX=B$$ donde $$A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$
$$X=\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \end{pmatrix}$$
y
$$X=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}$$
Entonces, aplicando el método de Cramer:
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}$$
donde $$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=2$$

$$\text{det}(A_x)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}=1$$

$$\text{det}(A_y)=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=1$$

y

$$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0
\end{vmatrix}=1$$

Por tanto
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}=1$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$

$\square$

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