Resolver por el método de Cramer

ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema compatible determinado, empleando el método de Cramer
$$\left\{\begin{matrix} x&-&y&+z&=&1 \\ &&y&-z&=&0 \\ -x&+&y&+z&=&0 \\ \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. Expresemos el sistema en forma matricial $$AX=B$$ donde $$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
$$X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$
y
$$X=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Entonces, aplicando el método de Cramer:
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}$$
donde $$\text{det}(A)=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=2$$

$$\text{det}(A_x)=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1$$

$$\text{det}(A_y)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=1$$

y

$$\text{det}(A)=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=1$$

Por tanto
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}=1$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$

$\square$

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