ENUNCIADO
En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde. Se extraen al azar, de forma consecutiva y sin reemplazamiento, dos bolas de dicha bolsa. Calcúlese la probabilidad de que:
a) Las dos bolas sean del mismo color
b) La primera bola haya sido verde si la segunda bola extraída es roja
PAU 2015, Madrid
SOLUCIÓN
(a)
La probabilidad pedida es P( (R_1 \cap R_2) \cup ( V_1 \cap V_2 )) = P( R_1 \cap R_2 ) + P( V_1 \cap V_2 ) ( por ser incompatibles dichas uniones ); por otra parte, P( V_1 \cap V_2 ) = 0 ( ya que sólo hay una bola verde en la bolsa y, por tanto, una vez extraída ésta, no puede volver a aparecer en la segunda extracción ); y, por por la definición de probabilidad condicionada, P(R_1 \cap R_2) = P(R_1)\,P(R_2 | R_1) = \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{4-1}{5-1}=\dfrac{3}{5}
(b)
La probabilidad que ahora se pide es P( V_1 | R_2 ). Entonces, por el Teorema de Bayes, P( V_1 | R_2 ) = \dfrac{P(R_2|V_1)\,P(V_1)}{P(R_2|V_1)\,P(V_1)+P(R_2|R_1)\,P(R_1)}
=\dfrac{(1/5)\cdot 1}{(1/5)\cdot 1+(4/5)(3/4)}=\dfrac{1}{4}
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