En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde ...

ENUNCIADO
En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde. Se extraen al azar, de forma consecutiva y sin reemplazamiento, dos bolas de dicha bolsa. Calcúlese la probabilidad de que:

a) Las dos bolas sean del mismo color
b) La primera bola haya sido verde si la segunda bola extraída es roja

PAU 2015, Madrid

SOLUCIÓN
(a)
La probabilidad pedida es $P( (R_1 \cap R_2) \cup ( V_1 \cap V_2 )) = P( R_1 \cap R_2 ) + P( V_1 \cap V_2 )$ ( por ser incompatibles dichas uniones ); por otra parte, $P( V_1 \cap V_2 ) = 0 $ ( ya que sólo hay una bola verde en la bolsa y, por tanto, una vez extraída ésta, no puede volver a aparecer en la segunda extracción ); y, por por la definición de probabilidad condicionada, $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1)\,P(R_2 | R_1) = \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{4-1}{5-1}=\dfrac{3}{5}$

(b)
La probabilidad que ahora se pide es $P( V_1 | R_2 )$. Entonces, por el Teorema de Bayes, $P( V_1 | R_2 ) = \dfrac{P(R_2|V_1)\,P(V_1)}{P(R_2|V_1)\,P(V_1)+P(R_2|R_1)\,P(R_1)}$

    $=\dfrac{(1/5)\cdot 1}{(1/5)\cdot 1+(4/5)(3/4)}=\dfrac{1}{4}$

$\square$

[nota del autor]