Sean las funciones ... Calcular el área de la región delimitada

ENUNCIADO
Sean las funciones reales de variable real $f(x)=x^2-6x$ y $g(x)=x-10$

a) Represéntese gráficamente las funciones $f$ y $g$
b) Calcúlese el área del recinto plano acotado por las gráficas de las funciones $f$ y $g$

[ PAU 2015, Madrid ]


SOLUCIÓN
a)

b)
El área pedida corresponde a la de la región representada en la siguiente figura

Figura 1

Las abscisas de los puntos de intersección, $A$ y $B$, de las gráficas de $f$ y $g$ son la solución de la ecuación $$x^2-6x=x-10 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}
2 \\
\\
5
\end{matrix}\right.$$

Figura 2

Figura 2

Restando el valor de las integrales definidas representadas en las figuras 2 y 3, el valor absoluto de dicho resultado ( él área es, por definición, una magnitud positiva ) representa el área pedida: $$\left| \int_{2}^{5}\,(g(x)-f(x))\,dx \right|$$ esto es $$\left| \int_{2}^{5}\,(-x^2+7x-10)\,dx \right|$$ Aplicando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, resolvemos la integral indefinida $$ \int_{2}^{5}\,(-x^2+7x-10)\,dx $$ Una función primitiva es $$-\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{7}{2}\,x^2-10\,x$$ y, por Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ) nos queda $$ \left[ -\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{7}{2}\,x^2-10\,x \right]_{2}^{5} $$
cuyo valor absoluto es el área pedida $$\left|(-\dfrac{1}{3}\,5^3+\dfrac{7}{2}\,5^2-10\cdot 5)-(-\dfrac{1}{3}\,2^3+\dfrac{7}{2}\,2^2-10\cdot 2)\right|$$ y haciendo los cálculos, llegamos al siguiente resultado $$\dfrac{9}{2}$$
expresado en unidades arbitrarias de área.

$\square$

[nota del autor]