Estudiar según los valores del parámetro y, si procede, resolver el sistema

ENUNCIADO. Estudiar y resolver ( cuando proceda ) el sistema de ecuaciones, en función de los valores que tome el parámetro $k$:
$$\left\{\begin{matrix}k\,x&+&3\,y&=&4\\ 3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&k\\ \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. La matriz ampliada del sistema es $$(A|B)=\left(\begin{array}{cc|c} k & 3 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & k \\ \end{array}\right)$$

Vamos a estudiar su rango ( así como el rango de la matriz $A$ ) por el método de los determinantes ( el rango de una matriz es igual al orden del mayor menor no-nulo ). Observemos que el determinante de la submatriz ( o menor ) formada por los elementos de la segunda y tercera filas y primera y segunda columnas es $$\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A)=2 \quad \text{y} \quad \text{rg}(A|B) \ge 2$$
Orlando, ahora, dicha submatriz nos encontramos con un único determinante de orden tres
$$\begin{vmatrix} k&3 & 4 \\ 3 & -1&2 \\ 2 & -1&k \\ \end{vmatrix} =0 \Leftrightarrow k^2+7k-8=0 \Leftrightarrow k=\left\{\begin{matrix} 1 \\ \\ -8 \end{matrix}\right.$$
Nos encontramos, pues, con dos casos posibles:
I) Si $k \in \{-8\,,\,1\}$, $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)=2=n$ ( $n$ denota el número de incógnitas ), por lo que el sistema de compatible determinado
II) Si $k \notin \{-8\,,\,1\}$, $\text{rg}(A)=2 \neq \text{rg}(A|B)=3$, por lo que el sistema es incompatible

A continuación, procedemos a resolver el sistema para el caso ( compatible determinado ) en que $k \in \{-8\,,\,1\}$. Para ello, tenemos en cuenta que las dos últimas ecuaciones son linealmente independients ( la primera ha de ser combinación lineal de éstas ), ya que la submatriz de los coeficientes del sistema de orden dos que corresponde a estas dos ecuaciones es distinto de cero ( tal como hemos visto al principio ) y ello garantiza la independencia lineal de estas dos últimas ecuaciones ( el rango del sistema es $2$ ).

Ia) Si $k=1$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right.$$
$$\sim \left\{\begin{matrix}3&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&1\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right.$$

Ib) Si $k=-8$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&-8\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right.$$
$$\sim \left\{\begin{matrix}30&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&28\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right.$$
$\square$