Una persona invierte ...

ENUNCIADO
Una persona invierte un total de $7000$ euros en acciones de las empresas A y B y en un depósito a $12$ meses al $1\,\%$. Pasado un año, vende sus acciones, obteniendo una [rentabilidad] del $5\,\%$ en las acciones de la empresa A y del $3\,\%$ en las de B. El beneficio total de sus tres inversiones es $202$ euros. Determinar qué cantidad destinó a cada inversión si sabemos que el dinero total destinado a comprar acciones superó en $2600$ al dinero del depósito.

SOLUCIÓN
Denotando por $x$ a la inversión en acciones de la empresa A; $y$, a la inversión en acciones de la empresa B; y, $z$ al depósito a $12$ meses, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
0,05x & + & 0,03y & + & 0,01z & = 202\\
x & + & y & - & z & = 2600\\
\end{matrix}\right.$$ es decir $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
5x & + & 3y & + & z & = 20200\\
x & + & y & - & z & = 2600\\
\end{matrix}\right.$$
Procedemos a reducirlo por Gauss. Restando la primera ecuación de la tercera y sustituyendo ésta por el resultado de dicha operación obtenemos ( simplificando esta última ) el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
5x & + & 3y & + & z & = 20200\\
& & & & z & =2200\\
\end{matrix}\right.$$
Multiplicando por $-5$ la primera ecuación y sumando a la segunda, miembro a miembro, y simplficando, obtenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = 7000\\
& + & y & + & 2z & = 7400\\
& & & & z & =2200\\
\end{matrix}\right.$$
Vemos así que el rango del sistema de ecuaciones es $3$ y que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado ( como cabría esperar ). Sustituyendo y despejando hacia arriba, a partir del resultado de la última ecuación, $z=2200\;\text{euros}$, obtenemos: $y=3000\;\text{euros}$, y $x=1800\,\text{euros}$. $\square$

[nota del autor]