Una muestra aleatoria simple ...

ENUNCIADO. Una muestra aleatoria simple de $100$ alumnos que se presentan a un examen de ingreso a la Universidad revela que la media de edad, $\bar{x}$, en dicha muestra es de $18'7$ años. Se desea estimar la media de edad, $\mu$, de la población de estudiantes que se presentan a dicha prueba, calculando un intervalo de confianza para dicho parámetro de la población. Por tanto, se pide:
a) Un intervalo de confianza de $\mu$, al $90\,\%$ de confianza, sabiendo que la desviación estándar de la población, $\sigma$, es igual a $0'8$ años.
b) El valor del error que se comete al estimar, de ese modo, el parámetro $\mu$

SOLUCIÓN.
a)
Por el Teorema Central del Límite, la variable aleatoria "edad", $X \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, siendo $n$ es el tamaño de la muestra ( $n=100$ ) y $\sigma/\sqrt{n}$ la desviación en el muestreo del estimador de la media muestral, $\bar{x}$ ( que denotamos por $\sigma(\bar{x})$. Así, al ser $\sigma=0'8$, $\sigma/\sqrt{n}=0'8/10=0'08$, la distribución de $X$ es $N(\mu\,,\,0'08)$.

El intervalo de confianza en la estimación de $\mu$ es, por tanto, $I=(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$     (1), donde la mitad de la longitud del intervalo, centrado en $\bar{x}$, representa una cota del error pedido, que, como ya sabemos, es igual a $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$     (2), que se pide explícitamente en el segundo apartado.

Necesitamos, por tanto, determinar el valor de la abscisa $z_{\alpha/2}$; para ello, utilizamos las tablas de la variable normalizada/tipificada $Z$, que es $N(0,1)$. Procedemos a ello: como el nivel de confianza, $1-\alpha$, es igual a $0'9$ ( en tanto por unidad ), encontramos que $\alpha/2=(1-0'9)/2=0'05$ ( por ser simétrica la función de densidad $f(z)$ respecto del eje de ordenadas ); teniendo en cuenta que $P\{Z \le z_{0'05}=1-0'05=0'95$ y consultando este valor en el interior de las tablas, encontramos el valor de la abscisa crítica correspondiente, $z_{0'05} \approx 1'65$.

Por tanto, de (1), encontramos que el intervalo de confianza para $\mu$, al $90\,\%$ de confianza es $$I=(18'7-1'65\cdot0'08\,,\,18'7+1'65\cdot0'08)$$ esto es $$I=(18'5\,,\,18'9)$$

b)
El error, $E$, que corresponde a dicho intervalo de confianza ( que ya hemos empleado al calcular los extremos del mismo ) es igual, de (2), a $1'65 \cdot 0'08 = 0'132 \prec 0'2$ años.

Nota: En otras palabras, podemos afirmar que la media $\mu$ de la edad de la población de estudiantes ( que se presenta al examen ) es igual a $\bar{x} \pm E$ con un nivel de confianza $1-\alpha$; en concreto: la media $\mu$ de la edad de la población de estudiantes ( que se presenta al examen ) es igual a $18'7 \pm 0'2$ con un nivel de confianza del $90\,\%$

$\square$

[nota del autor]