Estudiar el sistema homogéneo en función de los valores del parámetro ...

EUNCIADO. Estudiar en función de los valores del parámetro $k$ y resolver ( en los casos que proceda ) el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix} x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. El sistema es homogéneo. La matriz ampliada es $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & k & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2\,k & 0 \\ \end{array}\right)$$
luego ( al ser homogéneo ), para cualquier valor de $k$, tendremos que $r:=\text{rg}(A|B)=\text{rg}(A)$ y, por tanto, el sistema es compatible.

Vamos a analizar ahora los posibles valores de $r$, pues si $r=n=3$ el sistema será compatible determinado y su solución será la trivial $(0,0,0)$; por otro lado, si $r \prec n=3$, el sistema será compatible indeterminado.

Reduciendo la matriz $(A|B)$ por Gauss ( obteniendo así matrices equivalentes en rango ) obtenemos
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & k & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2\,k & 0 \\ \end{array}\right) \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\,;\, -2\,e_1+e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1+k & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2\,(k-1) & 0 \\ \end{array}\right) \overset{(1+a)\,e_e+e_2 \rightarrow e_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1+k & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\,k & 0 \\ \end{array}\right)$$
Así, podemos distinguir dos casos:
I) Si $k=0$, sólo hay dos ecuaciones linealmente independientes ( dos filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=2 \prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria.
II) Si $k \neq 0$, las tres ecuaciones son linealmente independientes ( tres filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=3=n$, luego el sistema es compatible determinado, y su única solución es la trivial ( como ya hemos avanzado ): $(0,0,0)$

Vamos ahora a resolver el sistema en las condiciones de (I). El sistema equivalente es: $$\left\{\begin{matrix} x & +& y&+&z&=&0\\ & & y&+&2\,z&=&0\\ \end{matrix}\right.$$

Eligiendo $z$ como variable secundaria, hacemos $\lambda:=-z$ y, por tanto, reescribimos el sistema así
$$\left\{\begin{matrix} x & +& y&=&\lambda\\\ & & y&=&2\,\lambda\\ \end{matrix}\right.$$

Sustituyendo $y=2\,\lambda$ en la primera ecuación: $x=-\lambda$. Por consiguiente, la solución del sistema ( para el caso I ) viene dado por infinitas ternas ( puntos ) $$\{(-\lambda\,,\, 2\,\lambda\,,\,-\lambda): \lambda \in \mathbb{R} \}$$
Y, al tener un sólo grado de libertad ( el parámetro $\lambda$ ) podemos interpretar esta solución como los infinitos puntos de una recta en el espacio de dimensión $3$.
$\square$