Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2&2 &0 \\ 0 & 3 &2 \\ -1 & k &2 \end{pmatrix}$$ ...

ENUNCIADO
Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2&2 &0 \\ 0 & 3 &2 \\ -1 & k &2 \end{pmatrix}$$
a) Estúdiese el rango de $A$ según los valores del parámetro real $k$
b) Calcúlese, si existe, la matriz inversa de $A$ para $k=3$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
a)
Observemos que el determinante de la submatriz de orden $2$ formada por los elementos de la primera y segunda filas y los de la primera y segunda columnas es $\begin{vmatrix} 2 &2 \\ 0 &3 \end{vmatrix}=6 \neq 0$, por lo que deducimos que el rango de $A$ es mayor o igual que $2$, y menor que $3$ ( por ser éste el orden de la matriz ). Orlando esta submatriz obtenemos una única submatriz de un orden superior, que es la matriz $A$, y cuyo determinante es igual a $8-4k$, el cual sólo se anula para $k=2$; por consiguiente, podemos afirmar que $$\text{rg}(A)=\left\{\begin{matrix} 2 & \text{si} & k=2 \\ 3 & \text{si} & k\neq2 \\ \end{matrix}\right.$$

b)
Si $k=3$, el rango de $A$ es $3$, luego por el resultado del apartado anterior, el determinante de $A$ es no nulo, luego existe matriz inversa de $A$ ( que es única ). Procedemos a calcularla por el método de Gauss-Jordan: $(A|I) \overset{\text{operaciones elementales entre filas}}{\longrightarrow} (I|A^{-1})$, donde $I$ es la matriz identidad.

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\ -1 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \overset{2\,f_3+f_1 \rightarrow f_3}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 8 & 4 & 1 & 0 & 2\\ \end{array}\right) \overset{-\frac{8}{3}\cdot\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 8 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\ \end{array}\right) \overset{2\cdot \frac{3}{4}\cdot\,f_3+f_2 \rightarrow f_2}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 3/2 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\ \end{array}\right) \overset{ -\frac{2}{3}\cdot\,f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2\\ 0 & 3 & 0 & 3/2 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\ \end{array}\right) \overset{ \frac{1}{2}\,f_1 \rightarrow f_1;\frac{1}{3}\,f_2 \rightarrow f_2;-\frac{3}{4}\,f_3 \rightarrow f_3 }{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -3/4 & 2 & -3/2\\ \end{array}\right)$$
luego $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ 1/2 & -1 & 1\\ -3/4 & 2 & -3/2\\ \end{array}\right)$$
$\square$

[nota del autor]