Se considera la función real de variable real definida por ...

ENUNCIADO
Se considera la función real de variable real definida por: $$f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6} & \text{si} & x \prec 2\\ \\ 3x+m & \text{si} & x \ge 2 \end{matrix}\right.$$

a) Calcúlese el valor del parámetro real $m$ para que la función $f$ sea continua en $x=2$
b) Calcúlense $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x)$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
a)
Observemos que el tramo izquierdo de la función se simplifica al factorizar los polinomios del numerador y denominador de la fracción algebraica $$\dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x+2}{x-3}$$
con lo cual, el único valor de $x$ que presenta problemas de continuidad es $x=3$, ya que éste anula el denominador ( y no el numerador ); sin embargo, tan solo se nos pide que averigüemos el valor que debe tomar el parámetro $m$ ( del segundo tramo de la función ) para que ésta sea continua en el punto de abscisa $x=2$; para ello, impongamos la condición de continuidad: $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)=f(2)$$ y por tanto $$\dfrac{x+2}{x-3}\,|_{x=2}=(3x+m)|_{x=2}$$ esto es $$\dfrac{2+2}{2-3}=3 \cdot 2 +m \Leftrightarrow m=-10$$ siendo $$f(2)=3\cdot 2 -10=-4$$

b)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{x/x+2/x}{x/x-3/x}=\lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{1+2/x}{1-3/x}=\dfrac{1+\frac{2}{-\infty}}{1-\frac{3}{-\infty}}=\dfrac{1+0}{1-0}=1$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,(3x+m)=+\infty+m=+\infty$

$\square$

[nota del autor]