Discutir y resolver el sistema de ecuaciones

ENUNCIADO. Estudiar en función de los valores del parámetro $k$ y resolver ( en los casos que proceda ) el siguiente sistema de ecuaciones
$$\left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. Procedemos a reducir el sistema por Gauss

$\left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right. \quad \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\quad , \quad 2e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$\sim \left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ & & (k+1)\,y&+&2z&=&0\\ & & (2k+1)y&+&2\,(k+1)\,z&=&0\\ \end{matrix}\right. \sim$

$\sim \left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&(k+1)\,y&=&0\\ & & 2\,(k+1)z&+&(2k+1)\,y&&=&0\\ \end{matrix}\right.\quad \overset{-(k+1)\,e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$\left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&(k+1)\,y&=&0\\ & & &&-k^2\,y&&=&0\\ \end{matrix}\right.$

Con esto vemos que el rango del sistema ( número de ecuaciones linealmente independientes ), $r$, es:

I) Si $k=0$, $r=2\prec n=3$ ( $n$ denota el número de variables del sistema ) con lo cual el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria

II) Si $k \neq 0$, $r=3=n$ y, por tanto, el sistema es compatible determinado.

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Procedemos, ahora, a resolver el sistema en los dos casos:

I) Con $k=0$, el sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&y&=&0\\ \end{matrix}\right.$$ Escogiendo $y$ como variable secundaria, asignamos $\lambda:=-y$, con lo cual el sistema a resolver es $$\left\{\begin{matrix}x & +& z&=&\lambda\\ & & 2\,z&=&\lambda\\ \end{matrix}\right. \quad \sim \quad \left\{\begin{matrix}x & & &=&\dfrac{\lambda}{2}\\ & & z&=&\dfrac{\lambda}{2}\\ \end{matrix}\right.$$ Así, pues, la solución viene dada en este caso por las infinitas $3$-tuplas $$\{(x,y,z)=\left(\dfrac{\lambda}{2}\,,\,-\lambda\,,\,\dfrac{\lambda}{2}\right):\;\lambda \in \mathbb{R}\}$$ entre las cuales se cuenta la solución trivial $(x,y,z)=(0,0,0)$.

II) Con $k=0$, la solución es la trivial, y está formada únicamente por la $3$-tupla: $(x,y,z)=(0,0,0)$

$\square$

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