Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\left\{\begin{matrix} 3\,x &+ &y&-&z&=&8\\ 2\,x & &&+&a\,z&=&3\\ x &+ &y&+&z&=&2\\ \end{matrix}\right.$$ ...

ENUNCIADO
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\left\{\begin{matrix}
3\,x &+ &y&-&z&=&8\\
2\,x & &&+&a\,z&=&3\\
x &+ &y&+&z&=&2\\
\end{matrix}\right.$$

a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=1$

[PAU 2015, Madrid ]


SOLUCIÓN
Reordenando convenientemente ( por comodidad ) las ecuaciones y el orden de las variables podemos escribir el sistema de la forma
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
-z &+ &y&+&3x&=&8\\
az & &&+&2x&=&3\\
\end{matrix}\right.$$
Procedamos a reducir el sistema por Gauss. Mediante las siguientes operaciones elementales entre filas ( $e_1+e_2 \rightarrow e_2; -a\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ ) [ 1ª etapa del proceso de escalonamiento ] obtenemos el siguiente sistema equivalente al original
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &2y&+&4x&=&10\\
& &-ay&+&(2-a)\,x&=&3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
y simplificando la segunda ecuación
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &-ay&+&(2-a)\,x&=&3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
Y, haciendo $a\,e_2+e_3 \rightarrow a_3$, concluimos el proceso de reducción
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&(2a+(2-a))\,x&=&5a+3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&&(a+2)\,x&=&3\,(a+1)\\
\end{matrix}\right.$$

Distiguimos los dos siguientes casos:

I) Si $a=-2$, de la tercera ecuación obtenemos $0 \overset{!}{=}-3$, y, ante la contradicción, debemos concluir que el sistema es incompatible para ese valor de $a$

II) Si $a \neq -2$ las tres ecuaciones son linealmente independientes, luego el rango del sistema es $3$, y al ser igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado

b)
Si $a=1 \neq -2$ hemos visto que el sistema es compatible determinado; procedemos a calcular la solución, sustituyendo el valor del parámetro que se nos da en el sistema reducido ( recordemos que es equivalente al original ):
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&&3\,x&=&3\\
\end{matrix}\right.$$
De la tercera ecuación, encontramos $x=2$; sustiyendo este valor en la segunda ecuación, vemos que $y=2\cdot 2 = 5 \Rightarrow y=1$; y, a su vez, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, encontramos el valor de $z$: $z+2+1=2 \Rightarrow z=-1$
$\square$

[nota del autor]