La duración de cierto componente electrónico, en horas (h), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica igual a ...

ENUNCIADO
La duración de cierto componente electrónico, en horas (h), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica igual a $1000 \, \text{h}$.

a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de esos componentes electrónicos de tamaño $81$ y la media muestral de su duración ha sido $\bar{x}=8000 \, \text{h}$. Calcúlese un intervalo de confianza al $99\,\%$ para $\mu$.

b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre $7904$ y $8296$ horas para una muestra aleatoria simple de tamaño $100$ si sabemos que $\mu=8100 \, \text{h}$ ?

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN

(a)
Un intervalo de confianza para $\mu$ se escribe de la forma $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E) \quad \quad (1)$. Conocemos el valor de la media muestral, $\bar{x}=8000$, y nos falta determinar el valor del máximo error en la estimación de $\mu$ por intervalo de confianza ( dado un cierto nivel de confianza, $1-\alpha = 1-0'99=0'01$ ).

Sabemos que $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$, siendo $\sigma(\bar{x})$ la desviación típica, en el muestreo, del estimador ( del estadístico ) $\bar{x}$ de $\mu$, que es igual a $\sigma / \sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ). En el caso que nos ocupa, $\alpha/2=0'01/2=0'005$; por tanto, como $P\{Z \le z_{0'005} \}=1-0'005=0'995$, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad de la variable tipificada, $N(0,1)$, encontramos el valor de la abscisa $z_{0'005} \approx 2'58$

Por otra parte, la desviación típica del estimador $\bar{x}$ ( variable aleatoria ) de $\mu$ en el muestreo es $\sigma/\sqrt{n}=1000/\sqrt{81}=1000/9 \, \text{h}$

Así, encontramos que el error máximo en la estimación ( semi-amplitud del intervalo de confianza ) es $ E = 2'58 \cdot \dfrac{1000}{9} \approx 287 \, \text{h}$. Con lo cual, de (1), el intervalo pedido es $$(8000-287\,,\,8000+287)$$ esto es $$I_{99\,\%}(\mu)=(7713\,,\,8287)\quad \quad \text{( en horas )}$$

(b)
La variable aleatoria $\bar{x}$ con la que se estima $\mu$ tiene una distribución ( en el muestreo ) $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$ ( Teorema Central del Límite ).

Se nos pide que calculemos $P\{ 7904 \le \bar{x} \le 8296 \}$.

Tipifiquemos la variable del estimador de $\mu$, $\bar{x}$, mediante la transformación $$\bar{x} \rightarrow Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$$ así, $Z$ es $N(0,1)$.

Por otra parte, teniendo en cuenta ahora que el tamaño muestral es $n=100$ y asumiendo que $\sigma = 1000 \, \text{h}$, calculamos la desviación típica en el muestro de la v.a. $\bar{x}$ en esta nueva situación, y encontramos que $\sigma/\sqrt{n} = 1000/\sqrt{100} = 100 \, \text{h}$.

Así,

$P\{ 7904 \le \bar{x} \le 8296 \}=P\{ \dfrac{7904-8000}{100} \le Z \le \dfrac{8296-8000}{100} \}$

    $= P\{ -0'96 \le Z \le 2'96 \}=P\{ Z \le 2'96 \} - P\{ Z \prec -0'96 \}$

    $= P\{ Z \le 2'96 \} - P\{ Z \succ 0'96 \}$   ( por ser simétrica la función de densidad $f(z)$ )

    $= P\{ Z \le 2'96 \} - ( 1 - P\{ Z \le 0'96 ) \}$   ( por la probabilidad del suceso contrario )

    $= P\{ Z \le 2'96 \} + P\{ Z \le 0'96 ) - 1 \}$

    $\overset{\text{tablas} N(0,1)}{=} 0'9985 + 0'8315 - 1$

    $= 0'83$

$\square$

[nota del autor]