Plantear y resolver

ENUNCIADO. Un agricultor tiene repartidas sus $10$ hectáreas en terreno de barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa $2$ hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene $6$ hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿ Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho ?.

SOLUCIÓN.
Llamando $x$ a la superficie en barbecho; $y$, a la superficie cultivada de trigo; y, $z$, a la de cebada

$$\left\{\begin{matrix} x +y+z=10\\ y=z+2\\ x=(y+z)-6 \end{matrix}\right.$$

Ordenando las ecuaciones

$$\left\{\begin{matrix} x &+ &y&+&z&=&10 \\ & &y&-&z&=&2 \\ x &- &y&-&z&=&-6 \\ \end{matrix}\right. \overset{e_3-e_1\rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix} x &+ &y&+&z&=&10 \\ & &y&-&z&=&2 \\ & &2y&+&2z&=&16 \\ \end{matrix}\right. \overset{\frac{1}{2}\,e_3\rightarrow e_3}{\sim}$$

$$\sim \left\{\begin{matrix} x &+ &y&+&z&=&10 \\ & &y&-&z&=&2 \\ & &y&+&z&=&8 \\ \end{matrix}\right. \overset{e_3-e_2\rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix} x &+ &y&+&z&=&10 \\ & &y&-&z&=&2 \\ & &&&2z&=&6 \\ \end{matrix}\right. \sim$$

$$\overset{\frac{1}{2}\,e_3\rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix} x &+ &y&+&z&=&10 \\ & &y&-&z&=&2 \\ & &&&z&=&3 \\ \end{matrix}\right.$$

Así, pues, $z=3$ hectáreas. Sustituyendo el valor que hemos encontrado para $z$ en la segunda ecuación, $y-3=2$, luego $y=5$ hectáreas. Y, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, $x+5+3=10$, luego $x=2$ hectareas.

$\square$