La producción de cierta hortaliza en un invernadero

ENUNCIADO
La producción de cierta hortaliza en un invernadero, $f(x)$ ( en kilogramos ), depende de la temperatura, $x$ ( en grados centígrados ), según la expresión $f(x)=(x+1)^{2}\,(32-x)$. El dominio de definición de la función $f(x)$ es $D_f=(15\,,40) \subset \mathbb{R}$ ¿ Para qué valor de la temperatura se da la máxima producción ?

SOLUCIÓN
Busquemos, primero, los máximos locales. Imponiendo la condición de extremo relativo, $f'(x)=0$, encontramos $$-3(x-21)(x+1)=0 \Leftrightarrow x_1=21 \; \text{ó} \; x_2=-1 \notin D_f$$
Como la función segunda derivada es $f''(x)=60-6x$, vemos que $f''(21) \prec 0$, y por tanto $x_1=21$ corresponde a un máximo local ( como era de esperar ), que, además, no puede ser otro que el máximo absoluto, dada la naturaleza de la función y el dominio de definición de la misma. El valor de dicho máximo ( la máxima producción ) es $f(21)=(21+1)^2\,(32-21)=5324 \;\text{kilogramos}$
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[nota del autor]