Resolver el siguiente ejercicio de programación lineal

ENUNCIADO. Para qué valores de $x$ e $y$ la función $$z\equiv f(x,y) =5x+4y$$ alcanza el máximo y, respectivamente, el mínimo, estando sujeta a las siguientes restricciones: $$\left\{\begin{matrix}
x &- &y &\le &10\\
x &+ &2y &\le &100\\
2x &- &y &\ge &0\\
& & y &\ge &20 \\
& & x &\ge &0 \\
\end{matrix}\right.$$
¿ Cuál es el valor del mínimo ? ¿ Cuál es el valor de máximo ?

SOLUCIÓN.
Escribiendo el sistema de restricciones de la forma
$$\left\{\begin{matrix}
y & \ge &x &- &10\\
y & \le &\dfrac{1}{2}\,x &+ &50\\
& & y &\le &2x \\
& & y &\ge &20 \\
& & x &\ge &0 \\
\end{matrix}\right.$$
vemos que los lados de la región factible están contenidos en las rectas
$$\left\{\begin{matrix}
r_1:&y & = &x &- &10\\
r_2:&y & = &\dfrac{1}{2}\,x &+ &50\\
r_3:&& & y &= &2x \\
r_4:&& & y &= &20 \\
r_5:&& & x &= &0 \\
\end{matrix}\right.$$
Trazando las rectas e interpretando el sentido de las desigualdades, obtenemos la región factible $\mathcal{R}$, que en este caso es cerrada, lo cual garantiza que exista el máximo y el mínimo pedidos.

Despejando $y$ de $z=5x+4y$, obtenemos el haz de rectas paralelas de la función objetivo $$\{\text{r.f.o.}:\,y=-\dfrac{5}{4}x+k:k \in \mathbb{R}\}$$ siendo $k=\dfrac{z}{4}$; con lo cual, es claro que $z$ es máximo ( respectivamente, mínimo ) cuando $k$ ( ordenada en el origen ) lo es; por consiguiente, buscaremos ( gráficamente ) los puntos de de $\mathcal{R}$, donde $k$ toma los valores máximo y mínimo, desplazando una recta representante ( cualquiera de ellas ) del haz ( de rectas de la función objetivo ), paralelamente a sí misma. Así, vemos que el mínimo valor de $k$ lo da el vértice $A$; y el máximo, el vértice $C$. Procedamos a calcular las coordenadas de estos dos vértices.

Teniendo en cuenta que $A$ está en $r_4$ y, también, en $r_3$, $$A:\left\{\begin{matrix}
y =20 \\
y=2x\\
\end{matrix}\right.\rightarrow A(10,20)$$ y, observando que $C$ está en $r_1$ y, también, en $r_2$, $$C:\left\{\begin{matrix}
y =x-10 \\
y=-\dfrac{1}{2}\,x+50\\
\end{matrix}\right.\rightarrow C(40,30)$$

Así, el valor máximo de $z$ es $z_{C}=f(40,30)=5\cdot 40+4\cdot 30= 320$; y el valor mínimo de $z$, $z_{A}=f(10,20)=5\cdot 10+4\cdot 20= 130$ . $\square$