Algunas cuestiones sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices

ENUNCIADO. Responder dando los argumentos necesarios:
(1) Considérese un sistema de $3$ ecuaciones con $n=3$ incógnitas; compatible indeterminado, con $2$ variables secundarias. ¿ Cuál es el rango, $r$, del sistema ? ¿ Qué interpretación geométrica tienen las infinitas ternas de números que constituyen la solución del mismo ?
(2) ¿ A qué matriz es igual la matriz $(A^t)^{t}-A$ ?
(3) ¿ Puede ser incompatible un sistema homogéneo ?

SOLUCIÓN.

(1) Teniendo en cuenta que $n-r=$número de variables secundarias $$3-r=2 \Leftrightarrow r=1$$

(2) $(A^t)^t=A$, luego $(A^t)^{t}-A=A-A=O$ ( matriz nula )

(3) En un sistema homogéneo se tiene, por lo menos, la solución trivial ( $x=0$, $y=0$, $z=0$ ), por consiguiente no puede ser incompatible. Otra justificació válida: Como en un sistema homogéneo el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, por el Teorema de Rouché-Fröbenius, podemos afirmar que es compatible.

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