Discutir y resolver el sistema de ecuaciones ...

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real $a$
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\2x&+&2y&-&3z&=&3\\3x&+&ay&-&2z&=&5\end{matrix}\right.$$
a) Discútase el sistema para los diferentes valores de $a$
b) Resuélvase el sistema en el caso $a=2$

SOLUCIÓN.
a) Podemos expresar el sistema de ecuaciones en forma matricial $$AX=B$$ siendo $A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -3 \\
3 & a & -2 \\
\end{array}\right)$ la matriz de los coeficientes, $X=\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}\right)$ la matriz columna de las incógnitas y $B=\left(\begin{array}{c}
1 \\
3 \\
5 \\
\end{array}\right)$ la matriz columna de los términos independientes

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es $$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 1 \\
2 & 2 & -3 & 3 \\
3 & a & -2 & 5 \\
\end{array}\right)$$ y es a partir de ella que vamos a realizar el estudio de rangos.

Observemos que el determinante de la submatriz formada por los elementos $a_{12}$, $a_{13}$, $a_{22}$ y $a_{23}$ es $\begin{vmatrix}1 & -1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} =-1 \neq 0$, luego los rangos de la matriz $A$ y $A^*$ son mayores o iguales que $2$. Estudiemos, ahora para qué valores de $a$ dichos rangos pueden llegar a ser superiores a $2$ ( no pueden ser superiores a $3$, pues el número de incógnitas es $n=3$ ).

Orlando dicha submatriz, aparecen dos submatrices de orden tres ( la submatriz que corresponde a la matriz $A$; y la submatriz formada por las columnas segunda, tercera y cuarta ), cuyos determinantes respectivos son:

i) $\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & a & -2 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a-3=0 \Leftrightarrow a=3$, de lo cual se deduce que:
$\text{rg}(A)=2$ si $a=3$, y $\text{rg}(A)=3$ si $a \neq 3$

ii) $\begin{vmatrix}1 & -1 & 1\\ 2 & -3 & 3 \\ a & -2 & 5 \end{vmatrix}=15 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A^*)=3$

Visto esto, y por el teorema de Rouché-Fröbenius, distinguimos los siguientes casos:
I) Si $a \neq 3$, los rangos de $A$ y $A^*$ coinciden ( son igual a $3$ ) y este valor es igual al número de incógnitas ( que es $3$ ), luego el sistema es compatible determinado.
II) Si $a = 3$, $2=\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)=3$, luego el sistema es incompatible.

b) A continuación, procedemos a resolver el sistema de ecuaciones para $a=2$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\2x&+&2y&-&3z&=&3\\3x&+&2y&-&2z&=&5\end{matrix}\right.$$ mediante las combinaciones entre filas $-2\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ y $-3\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ obtenemos el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\&&&-&z&=&1\\&&-y&+&z&=&2\end{matrix}\right.$$ sumando ahora la primera y la tercera ( miembro a miembro ), $e_1+e_3 \rightarrow e_3$, se tiene este otro sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\&&&&z&=&-1\\x&&&&&=&3\end{matrix}\right.$$ obteniendo los valores de la tercera y primera incóngitas ( $x=3$ y $z=-1$ ); finalmente, sustituyendo éstos en la primera ecuación, se llega al valor que corresponde a la segunda incógnita $3+y+1=1 \Leftrightarrow y=-3$
$\square$

[autoría]