Resolver el sistema de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Resuélvase el siguiene sistema de ecuaciones lineales, para $k=1$
$$\left\{\begin{matrix} x & + & y & & &=&3\\ x & + & ky & + & z &=&3\\ kx& & & - & 3z &=&6\\ \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Si $k$ toma el valor $1$, las dos primeras ecuaciones son idénticas, luego el sistema pedido es equivalente a
$$\left\{\begin{matrix} x & + & y & & &=&3\\ x& & & - & 3z &=&6\\ \end{matrix}\right.$$

Es claro que estas dos ecuaciones son independientes, pues una ( cualquiera de las dos ) no puede expresarse como combinación de la otra ( multiplicando por algún número ambos miembros de la misma ), por tanto el rango, $r$, del sistema es $2$, luego el sistema es compatible; y como el número de incógnitas, $n$, es $3$, es indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y, por tanto, con $2$ variables principales.

Eligiendo una de tres variables, pongamos que $z$, como variable secundaria, $\lambda:=z$. Así, $$\left\{\begin{matrix} x & + & y &=&3-\lambda\\ x & & &=&6+3\lambda\\ \end{matrix}\right.$$

La segunda ecuación da, directamente, $x$, que es $6+3\lambda$, y sustituyendo éste en la primera ecuación y despejando $y$, llegamos a $y=3-\lambda-(6+3\lambda)$; y, simplificando, $$y=-(3+4\lambda)$$ Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones pedido viene dada por el conjunto de infinitas ternas de números reales $$\{\left(6+3\lambda\,,\,-(3+4\lambda)\,,\,\lambda\right): \lambda \in \mathbb{R}$$ que se pueden interpretar geométricamente como los infinitos puntos de una recta vectorial en el espacio vectorial de dimensión $3$, $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ( o, abreviado, $\mathbb{R}^3$ ). $\square$