Resolver la siguiente ecuación matricial

ENUNCIADO. Determínese la matriz $X$ tal que $$\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}\,X\,=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}\,X$$

SOLUCIÓN.

Observemos ( para que sea posible realizar las operaciones que figuran en la ecuación ) que la matriz $X$ debe ser una matriz $2 \times 2$.

Denotemos las matrices de la siguiente forma:
$$A:=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}$$
$$B:=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$$
$$C:=\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}$$
Así, podemos escribir la ecuación pedida de manera que sea más cómodo realizar los pasos de resolución de la misma: $$AX=B-CX$$
Entonces,
  $AX+CX=B-CX+CX$
    $AX+CX=B-O$
      $(A+C)X=B$
Designemos $D:=A+C=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}$, con lo cual
        $DX=B$
Ahora, como $\det{D}=1 \neq 0$, $D$ tiene matriz inversa, podemos multiplicar ambos miembros del último paso por la inversa de $D$ ( por la izquierda ):
          $D^{-1}DX=D^{-1}B$
            $I_{2}X=D^{-1}B$ ( siendo $I_2$ la matriz identidad )
              $X=D^{-1}B$
Toca, pues, calcular $D^{-1}$; para ello, podemos emplear el método de la matriz inversa o bien el método de Gauss-Jordan. Vamos a hacerlo por el primer método $$(D|I) \overset{\text{operaciones elementales por filas}}{\rightarrow} (I|D^{-1})$$
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 1 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right) \overset{-3f_1+4f_2 \rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right) \overset{-f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 0 & 4 & -4 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{4}\,f_2 \rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right)$$
luego $$D^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}$$
Por lo tanto $$X=D^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-4\\-2&16\end{pmatrix}$$
$\square$

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