Un barco que se desplaza a velocidad constante, $v$ ( en kilómetros por hora ), consume $200 +0,1\,v^3$ litros de combustible cada hora. ¿ A qué velocidad debe desplazarse a fin de minimizar el gasto de combustible al realizar un trayecto de $d$ kilómetros ?.
SOLUCIÓN
El tiempo que dura la navegación ( en horas ) es $d/v$, luego el gasto de combustible ( para realizar el trayecto ) en función de la velocidad es $$f(v)=\dfrac{d}{v}\,(200+0,1\,v^3)$$ esto es $$f(v)=d\,(\dfrac{200}{v}+0,1\,v^2)$$
Imponiendo la condición necesaria de extremos relativos $$f'(v)=0$$ obtenemos $$-\dfrac{200}{v^2}+0,2v=0 \Leftrightarrow -200+0,1\,v^3=0 \Leftrightarrow v=\sqrt[3]{1000}=10\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$$
Comprobemos que se trata de un mínimo local; para ello, utilizaremos aquí el criterio de la segunda derivada. Derivando la función derivada obtenemos la función segunda derivada $$f''(v)=\dfrac{400}{v^3+0,2}$$ cuyo valor para el punto crítico es positivo $$f''(10)=\dfrac{400}{1000}+0,2 \succ 0$$
con lo cual queda demostrado que la velocidad encontrada corresponde a un mínimo relativo de $f(v)$; además, como la función está definida sólo para $v \succ 0$, y $\displaystyle \lim_{v \rightarrow \infty}\,f(v)=+\infty$, dicho mínimo relativo es el mínimo absoluto de la función lo cual puede visualizarse también en la gráfica de la función:
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