Sean $A$ y $B$ sucesos de un experimento aleatorio tales que ...

ENUNCIADO
Sean $A$ y $B$ sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A \cap B)=0,3$; $P(A \cap \bar{B})=0,2$ y $P(B)=0,7$. Calcúlese:

a) $P(A \cup B)$
b) $P(B|\bar{A})$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
a)
Por la fórmula de inclusión-exclusión podemos escribir
$$P(A \cup B ) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$
con lo cual
$$P(A \cup B ) = P(A)+0,7-0,3$$
y por tanto
$$P(A \cup B ) = P(A)+0,4 \quad \quad (1)$$
Por otra parte
$$P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)$$
luego
$$0,2=P(A)-0,3 \Rightarrow P(A)=0,5$$
y sustituyendo en (1) encontramos que
$$P(A \cup B )=0,2+0,4=0,6$$

b)
De la definición de probabilidad condicionada
$$P(B|\bar{A})=\dfrac{P(B \cap \bar{A})}{P(\bar{A})} \quad \quad (2)$$
por otra parte
$$P(B \cap \bar{A})=P(B)-P(B \cap A)=0,7-0,3=0,4$$
y
$$P(\bar{A})=1-P(A)=1-0,5=0,5$$
Con lo que, sustituyendo estos dos resultados en (2), llegamos a
$$P(B|\bar{A})=\dfrac{0,4}{0,5} =0,8$$
$\square$

[nota del autor]