Una fábrica de piensos produce diariamente, como mucho, seis toneladas de ...

ENUNCIADO
Una fábrica de piensos para animales produce diariamente, como mucho, seis toneladas de pienso de tipo $A$; y, a lo sumo, cuatro toneladas de pienso de tipo $B$. Además, la producción diaria de pienso de tipo $B$ no puede superar el doble de la de tipo $A$; y, por último, el doble de la fabricación de pienso de tipo $A$ sumada con la de tipo $B$ debe ser, como poco, de cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de fabricación de una tonelada de pienso de tipo $A$ es de $1000$ euros, y el de una tonelada de pienso de tipo $B$ es de $2000$ euros, ¿ cuál es la producción diaria para que la fábrica cumpla con sus obligaciones con un coste mínimo ? Calcúlese dicho coste diario mínimo.

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
Denotemos por $a$ la cantidad de pienso de tipo $A$ producida diariamente; y, por $b$, la de tipo $B$. Entonces, el sistema de restricciones es
$$\mathcal{R:}\left\{\begin{matrix} a & \ge & 0 \\ b & \ge & 0 \\ a & \le & 6 \\ b & \le & 4 \\ b & \le & 2\,a \\ 2a &+&b& \ge & 4 \\ \end{matrix}\right.$$

Las dos primeras desigualdades sitúan la región factible en el primer cuadrante. Para determinar su contorno, trazamos las rectas frontera

$$\left\{\begin{matrix} r_1:\,b & = & 0 \\ r_2:\,a & = & 6 \\ r_3:\,b & = & 4 \\ r_4:\,b & = & 2\,a \\ r_5;\,b &=&-2\,a& + & 4 \\ \end{matrix}\right.$$

y calculando las coordenadas de los vértices,
$$A \in r_3 \cap r_4 \Rightarrow A:\,\left\{\begin{matrix} b & = & 4 \\ b & = & 2\,a \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow A(2,4)$$

$$B \in r_4 \cap r_5 \Rightarrow B:\,\left\{\begin{matrix} b & = & -2\,a+4 \\ b & = & 2\,a \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow B(1,2)$$

$$C \in r_1 \cap r_5 \Rightarrow C:\,\left\{\begin{matrix} b & = & -2\,a+4 \\ b & = & 0 \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow C(2,0)$$

$$D \in r_1 \cap r_2 \Rightarrow D:\,\left\{\begin{matrix} a & = & 6 \\ b & = & 0 \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow D(6,0)$$

$$E \in r_2 \cap r_3 \Rightarrow E:\,\left\{\begin{matrix} a & = & 6 \\ b & = & 4 \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow E(6,4)$$

La función objetivo es $$f(a,b)=1000\,a+2000\,b$$

Escogiendo $f(a,b):=0$, representamos fácilmente una de las rectas de la familia de rectas de la función objetivo: $b=-\dfrac{1}{2}\,a$; y, trazando paralelas a la misma que incidan en la región factible $\mathcal{R}$, visualizamos dicha familia ( en rojo ), para los diversos valores de $f(a,b)$, cantidad a la que, por comodidad, denominaremos $k$: $$\mathcal{F}:\,b=-\dfrac{1}{2}\,a+\dfrac{k}{2000}$$ De entre estas infinitas rectas, encontramos que la recta que da el mínimo valor de $f(a,b)$; y, por tanto, el mínimo valor de la ordenada en el origen $\dfrac{k}{2000}$, que es la que pasa por el punto $A(2,0)$, como se observa en el gráfico. Las rectas paralelas que pasan por los otros vértices de $\mathcal{R}$ dan valores mayores de $f$, tal y como se puede comprobar, también, de forma numérica. De aquí se deduce que para que el coste sea mínimo, la producción diaria de pienso de tipo $A$ ha de ser de $2$ toneladas; y, la de $B$, $0$ toneladas.

En estas condiciones, el coste mínimo es igual a $f(2,0)=1000 \cdot 2 + 2000 \cdot 0 = 2000$ euros diarios.

$\square$

[nota del autor]