Aplicaciones de la distribución multinomial. Cálculo con R

ENUNCIADO
En un grupo de diez profesores hay tres de inglés, cuatro de matemáticas, dos de lengua y uno de física. Se selecciona al azar un comité de cuatro profesores. Calcúlese la probabilidad de que el comité esté formado por dos profesores de matemáticas, uno de física y uno de lengua

SOLUCIÓN.

Éste es un caso de distribución multinomial $$P(x_1,x_2,x_3,x_4)=\dfrac{(x_1+x_2+x_3+x_4)!}{x_{1}!\,x_{2}!\,x_{3}!\,x_{4}!}\,p_{1}^{x_1}\,p_{2}^{x_2}\,p_{3}^{x_3}\,p_{4}^{x_4}$$ donde:

|---------------------------------------|
|probabilidad de elegir un profesor de: | 
|---------------------------------------|
|inglés | matemáticas | lengua | física |
|---------------------------------------|
|  3/10 |    4/10     |  2/10  |  1/10  |
|---------------------------------------|

|---------------------------------------|
|integrantes de la comisión:            | 
|---------------------------------------|
|inglés | matemáticas | lengua | física |
|---------------------------------------|
|  0    |    2        |    1  |    1    |
|---------------------------------------|

Así pues debemos calcular $$P(0,2,1,1)=\dfrac{(0+2+1+1)!}{0!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1!}\cdot (3/10)^{0}\cdot (2/10)^{2}\cdot (1/10)^{1}\cdot (1/10)^{1}$$

A modo de práctica de aprendizaje de la herramienta R, vamos a realizar el cálculo con dicho software matemático orientado a la probabilidad y la estadística ( si bien también al cálculo numérico y a la programación científica ). La siguiente imagen es una captura de pantalla de la sesión de trabajo en el entorno RCommander de R, en la que aparecen las instrucciones que hemos dado para calcular la probabilidad pedida:

y hemos obtenido el siguiente resultado: $$P(0,2,1,1)=0,0384$$

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Probabilidad y Estadística. Estimación de la media por intervalos de confianza. Tamaño mínimo de la muestra.

ENUNCIADO. La longitud auricular de la oreja en varones jóvenes, expesada en centímetros, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma=0'6$ centímetros. Una muestra aleatoria simple de $100$ individuos proporcionó una media muestral $\bar{x}=7$ centímetros. Se pide:
a) Calcúlese un intervalo de confianza al $98\,\%$ para la media de la población $\mu$
b) El tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la misma sea de $0'1$ centímetros

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "longitud auricular". Sabemos que $X$ sigue la distribución normal $N(\mu\,,\,0'6)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=7$ centímetros y $E$ es el máximo error cometido en la estimación de la media poblacional, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'98$, entonces $\alpha=0'02$ y por tanto $\alpha/2=0'01$; con lo cual podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'01=0'99$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} = 2'33$

Así pues, $E=2'33\cdot \dfrac{0'6}{\sqrt{100}}=0'1398$ centímetros $\approx 0'2$ centímetros ( aproximando por exceso ), luego el intervalo de confianza pedido es $(7-0'2\,,\,7+0'2)$ esto es $I_{\mu} \sim (6'8\,,\,7'2)$, expresados los valores de los extremos en centímetros.


b)
Si $E_{\text{máx}}:=0'1$, entonces $$0'1=\dfrac{0'6}{\sqrt{n}}\cdot 2'33$$ luego $$n_{\text{mín}}=\left(\dfrac{0'6\cdot 2'33}{0,1}\right)^2\overset{\text{aproximando por exceso}}{\approx}196$$
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Cálculo de probabilidades. Sucesos condicionados.

ENUNCIADO. La probabilidad de que cierto río esté contaminado por nitratos es $0,6$, por sulfatos es $0,4$, y por ambos $0,2$. Calcúlese la probabilidad de que dicho río:
a) No esté contaminado por nitratos, si se sabe que está contaminado por sulfatos
b) No esté contaminado ni por nitratos ni por sulfatos

SOLUCIÓN. Denotemos por $S$ al suceso "haber contaminación de sulfatos" y por $N$ al suceso "haber contaminación de nitratos". Entonces:
a) $P(\bar{N}|S)\overset{(1)}{=}1-P(N|S)\overset{(2)}{=}1-0,5=0,5$


b)
$P(\bar{S} \cap \bar{N})\overset{\text{Morgan}}{=}P(\overline{S \cup N})\overset{(1)}{=}1-P(S \cup N)\overset{(3)}{=}1-\left(P(S)+P(N)-P(S\cap N)\right)$
  $=1-\left(0,4+0,6-0,2\right)=0,2$

-oOo-Aclaraciones:
(1) Probabilidad del suceso contrario
(2) Por la definición de probabilidad condicionada: $P(N|S)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{P(N\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0,2}{0,4}=0,5$
(3) Fórmula de inclusión-exclusión

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Análisis de funciones. Integración y cálculo de áreas

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=x^2+a\,x$$
a) Calcúlese el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ tenga un extremo relativo en $x=2$. Determínese si se trata de un máximo local o bien de un mínimo local.
b) Para $a=-2$, hállese el área del recinto acotado por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x=0$ y $x=2$

SOLUCIÓN.
a) La condición necesaria de extremo relativo en $x=2$ es $f'(2)=0$ y, como $f'(x)=2x+a$, ésta se concreta en la ecuación $2\cdot 2+a=0$, cuya solución es $a=-4$. Teniendo en cuenta ahora que $f''(x)=2 \succ 0$, concluimos que $x^*=2$ es la abscisa de un mínimo local, para $a=-4$

b) Si $a:=-2$, la función a integrar es $f(x)=x^2-2x$. Para $0\prec x \prec 2$ los valores de función son negativos -- $0$ y $2$ son las raíces de la función cuadrática $f(x)$, cuya gráfica es una parábola --, por tanto el área pedida es igual a
$\displaystyle \left| \int_{0}^{2}\,(x^2-2x)\,dx\right|\overset{(1)\,(2)}{=}|F(2)-F(0)|=$
  $\displaystyle=\left|\left(\dfrac{1}{3}\cdot 2^3-2^2\right)-0\right|=\left|-\dfrac{4}{3}\right|=\dfrac{4}{3}\;\text{unidades arbitrarias de área}$

Aclaraciones:
(1) Cálculo de una primitiva de la función integrando. $\displaystyle \int\,(x^2-2x)\,dx=\dfrac{1}{3}\,x^3-x^2+C$; dando un valor cualquiera a $C$, por ejemplo $C:=0$, una función primitiva de $x^2-2x$ es $\dfrac{1}{3}\,x^3-x^2$
(2) Aplicación de la regla de Barrow

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Análisis de funciones

ENUNCIADO. Se considera la función de variable real $$f(x)=\dfrac{x^2-1}{3\,x-2}$$
a) Estúdiense sus asíntotas
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

SOLUCIÓN.
a)
Asíntotas verticales: Tienen la forma $x=k$ donde $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)$. Observemos que el valor que anula el denominador de la función ( y no anula simultáneamente el numerador ) es, precisamente, el valor que tiene que tomar $k$: como $3x-2=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}$, encontramos una sóla asíntota vertical: $$\text{a.v.}\equiv x=\dfrac{2}{3}$$

Asíntotas oblicuas: Desde luego, las asíntotas oblicuas tienen la forma $\text{a.o.}\equiv y=m\,x+k$, y entre ellas, y como caso particular, podemos encontrar también las horizontalales -- en los casos en que la pendiente de la recta $m$ sea $0$ --; procedemos a calcularlas:

En primer lugar, calculamos el valor de m: $\displaystyle m \overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \infty}\,f'(x)\overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2-1}{x\,(3x-2)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2-1}{3x^2-2x}=\dfrac{1}{3}$. Nota: Como entre los valores del límite no encontramos el valor $0$, no hay asíntotas horizontales.

Conocido el valor de la pendiente, ya podemos calcular el valor $k$: $\displaystyle k \overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \infty}\,(f(x)-m\,x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\left( \dfrac{x^2-1}{3x-2}-\dfrac{1}{3}\,x\right)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\left( \dfrac{2x-3}{9x-6}\right)=\dfrac{2}{9}$

Así pues, encontramos una sóla asíntota oblicua $$\text{a.o.}\equiv y=\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{2}{9}$$

b)
Veamos si la función tiene extremos relativos $\{x \in \text{Dom}\,f: f'(x)=0\}$. La función derivada de $f(x)$ resulta ser ( omito los cálculos ) $f'(x)=\dfrac{3x^2-4x+3}{(3x-2)^2}$. Imponiendo la condición necesaria, $f'(x)=0$, llegamos a $$\dfrac{3x^2-4x+3}{(3x-2)^2}=0 \Leftrightarrow 3x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3} \notin \mathbb{R}$$ luego la función $f(x)$ no tiene extremos relativos, luego no tiene máximos y mínimos locales, luego es mónotona; y como $f'(x) \succ 0$ para todo valor de $x$ -- compruébese con cualequier valor, por ejemplo $f'(1)=\dfrac{3\cdot 1^2-4\cdot 1+3}{(3\cdot 1-2)^2}\succ 0$ -- es monótona creciente, esto es, la función es creciente en todo el dominio de existencia $\mathbb{R}\setminus \{\dfrac{2}{3}\}$

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Cáculo con matrices

ENUNCIADO. Considérense las matrices $$A=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$$ $$B=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1\end{pmatrix}$$ $$C=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}$$ Se pide:
a) la matriz $C^{40}$
b) la matriz $X$ que verifica $X\cdot A+3\,B=C$

ENUNCIADO.
a)
Observemos que $C^2=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=I$, luego el período es $2$, luego $C^{40}=C^r$, donde $r=\text{residuo}(40\div 2)=0$; por tanto $C^{40}=C^0=I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

b)
$XA+3B=C$
  $XA+3B-3B=C-3B$
    $XA+O=C-3B$
      $XA=C-3B$
        $XAA^{-1}=(C-3B)A^{-1}$
          $XI=(C-3B)A^{-1}$
            $X=(C-3B)A^{-1}$
              $X\overset{(1),(2))}{=}\begin{pmatrix}-4 & -9 \\ -3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-2 \\ -1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&17 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$

-oOo-
Cálculos:

(1)     $C-3B=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}-3\,\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & -9 \\ -3 & 4\end{pmatrix}$

(2)   Cálculo de la matriz inversa de $C$ por el método de Gauss-Jordan: $(A|I) \rightarrow (I|A^{-1}$
$\left(\begin{array}{cc|cc}1&-2&1&0 \\ -1& 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{f_1+f_2\,\rightarrow f_2}{\sim} \left(\begin{array}{cc|cc}1&-2&1&0 \\ 0& -1 & 1 & 1 \end{array}\right)\overset{-2\,f_2+f_1\,\rightarrow f_1}{\sim}$
  $\sim \left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-1&-2 \\ 0& -1 & 1 & 1 \end{array}\right)\overset{-1\,f_2\,\rightarrow f_2}{\sim}\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-1&-2 \\ 0& 1 & -1 & -1 \end{array}\right)$
Así pues $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-2 \\ -1 & -1\end{pmatrix}$$

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Probabilidad y Estadística. Intervalos de confianza. Distribución de la media muestral.

ENUNCIADO. El tiempo, en horas, que tarda cierta compañía telefónica en hacer efectiva la portabilidad de un número de teléfonos se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma=24$ horas. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $16$. Calcúlese:
a) La probabilidad de que la media muestral del tiempo, $\bar{X}$, supere las $48$ horas, si $\mu=36$ horas
b) El nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo $(24'24\,,\,47'76)$ para $\mu$

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $\bar{X}$ a la variable muestral "tiempo necesario en hacer efectiva la portabilidad". Por el Teorema Central del Límite, sabemos que $\bar{X} \sim N\left(\mu\,,\,\dfrac{24}{\sqrt{16}}\right)$, esto es $\bar{X} \sim N(\mu\,,\,6)$

a)
Si $\mu=36$ horas, tenemos que $P\{\bar{X} \ge 48\}=P\{Z \ge \dfrac{48-36}{6}\}=P\{Z\ge 2\}$
    $=1-P\{Z\le 2\}=1-0'9772=0'0228$

b) El intervalo de confianza para la estimación de $\mu$ se define como $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E$ es el máximo error de la estimación y es igual a $z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Teniendo en cuenta que el intervalo que viene como dato es $(24'24\,,\,47'76)$, deducimos que $2\,E=47'76-24'24=23'52$, luego $E=\dfrac{23'52}{2}=11'76$. En consecuencia, $11'76=z_{\alpha/2}\,\dfrac{24}{\sqrt{16}}$ y por tanto $z_{\alpha/2}=1'96$, así que, consultando las tablas de la función de distribución $N(0,1)$, vemos que $P\{Z\le 1'96\}=0'9750 \Rightarrow \alpha/2=1-0'9750=0'025$, luego $\alpha=2\cdot 0'025=0'05$. Así pues, el nivel de confianza $1-\alpha$ es igual a $1-0'05=0'95$, esto es, de $95\,\%$

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Cálculo de probabilidades. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. Una empresa fabrica dos modelos de ordenadores portátiles $A$ y $B$, siendo la producción del modelo $A$ el doble que la del modelo $B$. Se sabe que la probabilidad de que un ordenador portátil del modelo $A$ salga defectuoso es de $0'02$, mientras que esa probabilidad en el modelo $B$ es de $0'06$. Calcúlese la probabilidad de que un ordenador fabricado por dicha empresa elegido al azar:
a) No salga defectuoso
b) Sea del modelo $A$, si se sabe que ha salido defectuoso

SOLUCIÓN.
Denotemos por $A$ al suceso "elegir un ordenador fabricado por esa empresa que sea del modelo $\mathcal{A}$", y por $B$ al suceso "elegir un ordenador del modelo $\mathcal{B}$"; denotemos por $D$ al suceso "elegir un ordenador defectuoso".

a) Los sucesos $A$ y $B$ constituyen una partición del espacio muestral $\Omega$, luego, por el teorema de la probabilidad total, podemos escribir que $$P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)\quad \quad (1)$$

Del enunciado, sabemos que $P(D|A)=0'02$ y $P(D|B)=0'06$. Por otra parte, y de acuerdo también con la información del enunciado, $P(A)=\dfrac{2\,n_B}{2\,n_B+n_B}=\dfrac{2}{3}$ y $P(B)=\dfrac{n_B}{2\,n_B+n_B}=\dfrac{1}{3}$, donde $n_B$ representa el número de ordenadores fabricados del modelo $\mathcal{B}$ y $2\,n_B$ el número de ordenadores fabricados del modelo $\mathcal{A}$. Por consiguiente, de (1), llegamos al siguiente resultado $$P(D)=\dfrac{2}{100}\cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{100}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{30}$$ con lo cual, la probabilidad de que el ordenador elegido al azar no salga defectuoso es $$P\bar{D}=1-\dfrac{1}{30}=\dfrac{29}{30}$$

b)
De acuerdo con el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(A|D)=\dfrac{P(D|A)P(A)}{P(D)}$$ esto es $$P(A|D)=\dfrac{(2/100)\cdot (2/3)}{1/30}=\dfrac{2}{5}$$

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Análisis de funciones

ENUNCIADO. Se considera la función real de una variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix} a\,x+1 & \text{si} & x\prec -1 \\ x^2+x-2 & \text{si} & x \ge -1\end{matrix}\right.$$ a) Calcúlese el valor del parámetro real $a$ para que $f(x)$ sea una función continua en todo su dominio de definición
b) para $a=-2$, calcúlense los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes cartesianos. Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento

SOLUCIÓN.
a)
El único punto donde puede haber problemas de continuidad es el de abscisa $x=-1$; en el resto, los dos tramos de la función son continuos, por tratarse de polinomios de primer y segundo grado, respectivamente. Procedemos pues a estudiar la continuidad en $x=-1$. Para que la función sea continua en dicho punto debe cumplirse que $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,f(x)$$ esto es $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\,a\,x+1=\lim_{x \rightarrow -1}\,x^2+x-2$$ de donde se ve que $$-a+1=-2$$ así pues para que la función sea continua en $x=-1$ es necesario que $a=3$

b)
Punto de corte con el eje de ordenadas ( sólo puede haber uno ). La abscisa de dicho punto ha de ser $0$, luego, teniendo en cuenta que $0\succ -1$, su ordenada es $f(0)=0^2+0-2=-2$; en consecuencia el punto pedido es $C(0,-2)$

Puntos de corte con el eje de abscisas. La ordenada de dichos puntos ha de ser $0$, por tanto sus abscisas tienen que satisfacer las ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}0=-2x+1 & \text{para} & x\prec -1 \\ 0=x^2+x-2 & \text{para} & x\ge -1 \end{matrix}\right.$$ De la primera se obtiene el valor $x=\dfrac{1}{2} \succ -1$, que, no nos sirve, por tener que ser menor que $-1$; y, de la segunda ( resolviendo la ecuación cuadrática ), se obtienen dos valores: $x=1 \succ -1$ ( y, por tanto, és valido ) y $x=-2$, que, por ser menor que $-1$, no nos sirve. Así pues, hay un único punto de corte con el eje de abscisas, que es $A(1,0)$

Extremos relativos. El primer tramo de función no los tiene, por ser polinómico de primer grado; en cuanto al segundo tramo, que es polinómico de sendo grado ( parábola ), sólo puede corresponder al vértice de la misma, cuya abscisa es $x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}$, que, es mayor que $-1$ y por tanto lo aceptamos como perteneciente a este segundo tramo. Ésta abscisa corresponde a un mínimo local, pues el coeficiente del término de grado dos es $1$, que es positivo. A la izquierda de un mínimo local, la función decrece; y, a la derecha, crece.

Nota: Otra forma de encontrar ese extremo relativo ( que tiene abscisa $-1/2$), consiste en utilizar el procedimiento estándard: en todo extremo relativo la primera derivada del segundo tramo es $y'=2x+1$; igualando a cero, como condición necesaria de extremo relativo, obtenemos $x^*=-1/2$ ( que es la abscisa del vértice de la parábola que comentábamos arriba ), y, ha de corresponder a un mínimo local, pues por el criterio del signo de la segunda derivada en las abscisas de los extremos relativos, vemos que, siendo $y''=2 \succ 0$ para todo valor de $x$, y, desde luego, para $x^=-1/2$, éste corresponde a un mínimo local.

De todo ello concluimos que los intervalos en los que la función decrece son $I_{1}^{\downarrow}=(-\infty\,,\,-1)$ e $I_{2}^{\downarrow}=(-1/2\,,\,+\infty)$; y, el intervalo en la que función crece ( sólo hay uno ) es $I_{3}^{\uparrow}=(-1\,,\,-1/2)$

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Un ejercicio de programación lineal

ENUNCIADO. Considérese la región del plano $S$ definida por $$S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 1\le x \le 5\,;\,2 \le y \le 6\,;\,x-y\ge -4\,;\,3x-y\le 10\}$$
a) Represéntese gráficamente la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Determínense los puntos en los que la función $f(x,y)=-200\,x+600\,y$ alcanza sus valores máximo y mínimo en $S$, indicando el valor de $f(x,y)$ en dichos puntos

SOLUCIÓN.

a)
Las condiciones del enunciado que definen la región factible (región convexa del plano) pueden expresarse de la forma $$\left.\begin{matrix}x\le 5 \\ x\ge 1 \\ y\le 6 \\ y\ge 2 \\ x+4 \ge y \\ 3x -10 \le y \end{matrix}\right\} \sim \left.\begin{matrix}x\le 5 \\ x\ge 1 \\ y\le 6 \\ y\ge 2 \\ y\le x+4 \\ y \ge 3x-10 \end{matrix}\right\}$$ y las rectas que contienen los lados de la misma son $$\left.\begin{matrix}r_1\equiv x=5 \\ r_2\equiv x=1 \\ r_3\equiv y= 6 \\ r_4\equiv y= 2 \\ r_5\equiv y= x+4 \\ r_6\equiv y = 3x-10 \end{matrix}\right\}$$
Atendiendo al sentido de las desigualdades obtenemos,

Procedemos ahora a calcular las coordenadas de los vértices de dicha región:
$$A=r_2\cap r_4 \equiv\left\{\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\; \text{luego} \rightarrow A(1,2)$$
$$B=r_2\cap r_5 \equiv\left\{\begin{matrix}x=1\\y=x+4\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x=1\\y=5\end{matrix}\right.\; \text{luego} \rightarrow B(1,5)$$
$$C=r_5\cap r_3 \equiv\left\{\begin{matrix}y=6\\y=x+4\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}\right.\; \text{luego} \rightarrow C(2,6)$$
$$D=r_1\cap r_3 \equiv\left\{\begin{matrix}x=5\\y=6\end{matrix}\right.\; \text{luego} \rightarrow D(5,6)$$
$$E=r_1\cap r_6 \equiv\left\{\begin{matrix}x=5\\y=3x-10\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x=5\\y=5\end{matrix}\right.\; \text{luego} \rightarrow E(5,5)$$
$$F=r_4\cap r_6 \equiv\left\{\begin{matrix}y=2\\y=3x-10\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x=4\\y=2\end{matrix}\right.\; \text{luego} \rightarrow F(4,2)$$

b)
Encontramos la familia de rectas asociada a la función objetivo $f(x,y)=-200x+600y$, considerando el valor de $f$ como parámetro: $k=f(x,y)$ y despejando la variable dependiente $y$, llegamos a $y=\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{k}{600}$, para todo $k\in \mathbb{R}$. La pendiente de las rectas de dicho haz ( de rectas paralelas ) es $\dfrac{1}{3}$, que no coincide con la pendiente de ningua de las rectas que contienen los lados de la región convexa, en consecuencia el máximo y el mínimo de $f(x,y)$ se darán para ciertos vértices de la región factible ( no para los lados ). Veamos los valores de dichos máximo y mínimo y en qué vértices para que valores de $x$ e $y$ ( coordenadas de los respectivos vértices ) se alcanzan; para ello, organizaremos los resultados en la siguiente tabla:

----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------
 vértice  |  x  |     y       |    f(x,y)=-200x+600y
----------------------------------------------------------
    A     |  1  |     2       |   -200+1200=1000
----------------------------------------------------------
    B     |  1  |     5       |   -200+3000=2800
----------------------------------------------------------
    C     |  2  |     6       |   -400+3600=3200 (máximo)
----------------------------------------------------------
    D     |  5  |     6       |   -1000+3600=2600
----------------------------------------------------------
    E     |  5  |     5       |   -1000+3000=2000
----------------------------------------------------------
    F     |  4  |     2       |   -800+1200= 400 (mínimo)
----------------------------------------------------------

$\square$

Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$ $$\left\{\begin{matrix}x&-&2\,y&-&z&=&&-2 \\ -2\,x&&&-&a\,z&=&&2 \\ &&y&+&a\,z&=&&-2 \end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=4$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $\left(\begin{array}{ccc|c} 1&-2&-1&-2 \\ -2 & 0 & -a & 2 \\ 0 & 1 & a & -2 \end{array}\right) \overset{2\,f_1+f_2\,\rightarrow f_2}{\sim}$
  $\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-2&-1&-2 \\ 0 & -4 & -2-a & -2 \\ 0 & 1 & a & -2 \end{array}\right) \overset{4\,f_3+f_2\,\rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-2&-1&-2 \\ 0 & -4 & -2-a & -2 \\ 0 & 0 & -2+3a & -10 \end{array}\right)$
Habiéndola reducido por Gauss, ya podemos realizar el análisis de rangos ( teorema de Rouché-Fröbenius):
i) Si $a=\dfrac{2}{3}$ el rango de la matriz de los coeficientes es $2$, pero el de la matriz de los coeficientes ampliada es $3$; por tanto, como los rangos no coinciden el sistema es incompatible para dicho valor de $a$
ii) Para cualquier valor de $a$ distinto de $\dfrac{2}{3}$, los rangos de las dos matrices coinciden y son iguales a $3$; y, como este valor del rango es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

b)
Por lo dicho arriba, si $a:=4\neq \dfrac{2}{3}$ el sistema es compatible determinado. Veamos cuál es la solución.
$$\left\{\begin{matrix}x&-&2\,y&-&z&=&-2 \\ -2\,x&&&-&4\,z&=&2 \\ &&y&+&4\,z&=&-2 \end{matrix}\right.$$ Y, como ya tenemos reducida la matriz ampliada, un sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}x&-&2\,y&-&z&=&-2 \\ &&-4\,y&-&6\,z&=&-2 \\ &&&&10\,z&=&-10 \end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x&-&2\,y&-&z&=&&-2 \\ &&2\,y&+&3\,z&=&&1 \\ &&&&z&=&&-1 \end{matrix}\right.$$

Despejando $z$ de la última ecuación y sustituyendo lo obtenido en la segunda ecuación para, a su vez, despejar $y$; y, finalmente, sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos:
$$\left\{\begin{matrix}x&&&&&=&1 \\ &&y&&&=&2 \\ &&&&z&=&-1 \end{matrix}\right.$$
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Probabilidad y Estadística. Intervalos de confianza.

ENUNCIADO. La masa ( en toneladas ) de los contenedores de un barco de carga se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma=3$ toneladas. Se toma una muestra aleatoria simple de $484$ contenedores. Se pide:
a) Si la media de la muestra es $\bar{x}=25'9$ toneladas, obténgase un intervalo de confianza para $\mu$ con un nivel ( de confianza ) del $90\,\%$
b) Supóngase ahora que $\mu=23$ toneladas. Calcúlese la probabilidad de que puedan transportarse en un barco cuya capacidad de carga máxima es de $11\,000$ toneladas

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "masa del contenedor". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=3$ toneladas. La media de la muestral es $\bar{x}=25'9$ toneladas, siendo el tamaño de la muestra $n=484$. Por el Teorema del Límite Central, podemos decir que la variable $\bar{X}$ es $N(\mu,\dfrac{3}{\sqrt{484}})$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E$ la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) y viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'90$, entonces $\alpha=0'10$ y por tanto $\alpha/2=0'05$; podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'05=0'95$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} \approx 1'64$ . Así pues $E=1'64\cdot \dfrac{3}{484} \approx 0,3$ ( aproximando por exceso ), luego el intervalo de confianza pedido es $I=(25'9-0'3\,,\,25'9+0'3)$, esto es $(25'6\,,\,26'2)$ toneladas

b)
Consideremos ahora la variable aleatoria $Y=X_1+X_2+\ldots+X_n$, donde $n=484$ y cada una de las $n$ variables $X_i \; (i=1,\ldots,n)$ es $N(\mu,\sigma)$, con $\sigma=3$ toneladas, y suponiendo, ahora, que $\mu=23$ toneladas. En estas condiciones $Y$ es $N(n\,\mu\,,\,\dfrac{n\,\sigma}{\sqrt{n}})$, esto es $N(n\,\mu\,,\,\sqrt{n}\,\sigma)$, que con los datos es $N(11\,132\,,\,66)$

Procedemos a calcular ahora la probabilidad pedida
$P\{Y \prec 11\,000\}\overset{\text{tipificando}}{=}P\{Z \prec \dfrac{11\,132-11\,000}{66}\}$
    $=P\{ Z\prec 2\}$
    $\approx 0'9772$ ( consultando las tablas de la función $F(z)$, donde $Z$ es $N(0\,,\,1)$

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Cálculo de probabilidades. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes

ENUNCIADO. El $30\,\%$ de los individuos de una determinada localidad son jóvenes. Admitimos que: si una persona es joven, la probabilidad de que lea prensa al menos una vez por semana es $0'20$; y, si una persona lee prensa al menos una vez por semana, la probabilidad de que no sea joven es $0'9$. Se escoge una persona al azar. Calcúlese la probabilidad de que esa persona:
a) No lea prensa al menos una vez por semana
b) No lea prensa al menos una vez por semana o no sea joven

SOLUCIÓN.
Sea los siguientes sucesos: $J$="ser joven" y $R$="leer la prensa al menos una vez por semana". Contamos con los siguientes datos: $P(J)=0,3$; $P(R|J)=0,2$ y $P(\bar{J}|R)=0,9$ y por lo tanto $P(J|R)=1-0,9=0,1$

a) Nos proponemos calcular $P(\bar{R})$; para ello calcularemos, primero, $P(R)$. Desde luego, podemos escribir $P(J\cap R)=P(R \cap J)$, y por la definición de probabilidad condicionada, llegamos a $P(J|R)P(R)=P(R|J)P(J)$, esto es $0,1\cdot P(R)=0,2\cdot 0,3$ con lo cual $P(R)=\dfrac{0,2\cdot 0,3}{0,1}=\dfrac{3}{5}$ y, por consiguiente, $P(\bar{R})=1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5}$

b) Calcularemos ahora $P(\bar{R} \cup \bar{J})$ que, por la ley de Morgan, es lo mismo que $P(\overline{R \cap J})$, entonces la probabilidad pedida es igual a $$1-P(R \cap J)=1-P(R|J)P(J)=1-0,06=0,04=\dfrac{1}{25}$$

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Análisis de funciones. Continuidad. Integración.

ENUNCIADO. Se considera la función real de una variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{x+2} & \text{si} & x\le 0 \\ \\ x+2 & \text{si} & x\succ 0\end{matrix}\right.$$ a) Estúdiese la continuidad de $f(x)$ en $\mathbb{R}$
b) Calcúlese la integral definida $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx$

SOLUCIÓN.
a) El primer tramo de la función es de proporcionalidad inversa, cuya asíntota tiene por ecuación $x=-2$, y el segundo tramo es de tipo lineal afín ( sin puntos de discontinuidad, por tanto ).

Por otra parte, para abscisas mayores que cero, tiene validez el tramo lineal afín y para abscisa cuyo valor sea menor o igual que cero, tiene validez el tramo de proporcionalidad inversa, siendo $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}$

Debemos hacer notar, por tanto, que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x)=0+2=2$ y que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)=\dfrac{2}{0+2}=1$; así pues, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x) \neq \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)$ y por tanto hay una discontinuidad de salto finito en $x=0$, siendo $f(x)$ continua en los demás puntos de $\text{Dom}\,f$

b)
$\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\,\dfrac{2}{x+2}\,dx=2\,\int_{-1}^{0}\,\dfrac{1}{x+2}\,dx=$

  $=\displaystyle 2\,\left [ \ln\,(x+2)\right ]_{-1}^{0}=2\,(\ln\,(0+2)-\ln\,(-1+2))=2\,(\ln\,2-\ln\,1)=2\,(\ln\,2-0)$
    $=2\,\ln\,2$

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Cálculo de límites de función. Análisis de funciones.

ENUNCIADO. Considérese la función real de una variable real.: $$f(x)=x^3-3\,x$$ a) Calcúlense los siguientes límites: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{f(x)}{1-x^3}$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x)}{x}$
b) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$

SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{f(x)}{1-x^3}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x^3-3\,x}{1-x^3}\overset{\text{indet. del tipo}\dfrac{\infty}{\infty}}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{\dfrac{x^3}{x^3}-3\,\dfrac{x}{x^3}}{\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{x^3}{x^3}}=$

  $=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\, \dfrac{1-3\,\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x^3}-1}=\dfrac{1-\dfrac{3}{\infty}}{\dfrac{1}{\infty}-1}=\dfrac{1-0}{0-1}=-1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{x^3-3\,x}{x}\overset{\text{indet. del tipo} \dfrac{0}{0}}{=}\lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{f(x)}{x}\overset{x^3-3\,x=x\,(x^2-3)}{=}$
  $=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{x\,(x^2-3)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\,x^2-3=0-3=-3$

b)
Observemos que al ser $f(x)$ un polinomio, $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}$ y $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$; por otra parte, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,f(x)=+\infty$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)=-\infty$

Procedemos a calcular las abscisas de los máximos y mínimos locales, imponiendo la condición necesaria $f'(x)=0$. Derivando $f(x)$, obtenemos $f'(x)=3\,(x^2-3)=3\,(x^2-1)$, luego $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\pm\,1$.

Veamos ahora la naturaleza de dichos extremos relativos mediante el criterio de la segunda derivada. Derivando $f'(x)$, obtenemos $f''(x)=6x$. Entonces, como $f''(-1)=-6\prec 0$, vemos que $-1$ corresponde a la abscisa de un máximo local; y, por otra parte, como $f''(1)=6 \succ 0$, deducimos que $1$ es la abscisa de un mínimo local.

De todo ello llegamos a la siguiente conclusión. Hay dos intervalos de crecimiento: $I_{1}^{\uparrow}=(-\infty\,,\,-1) \subset \mathbb{R}$ y $I_{3}^{\uparrow}=(1\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$, y un intervalo de decrecimiento $I_{2}^{\downarrow}=(-1\,,\,1) \subset \mathbb{R}$

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Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$: $$\left\{\begin{matrix}x&-&a\,y&+&2\,z&=&0 \\ a\,x&-&4\,y&-&4\,z&=&0 \\ (2-a)\,x&+&3\,y&-&2\,z&=&0\end{matrix}\right.$$
a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=3$

SOLUCIÓN.
a) Para discutir el sistema, recurrimos al Teorema de Rouché-Fröbenius.

Avancemos, sin embargo que, al tratarse de un sistema homogéneo, éste no puede ser incompatible, puesto que los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz de los coeficiente ampliada con el vector de los términos independientes ( vector nulo en este caso ) son iguales; así que el sistema ha de ser compatible determinado ( cuya única solución, aquí, es la trivial: $x=y=z=0$ ), o bien compatible indeterminado. Veámoslo en función de los valores del parámetro $a$.

El rango de la matriz de los coeficiente $\begin{pmatrix}1&-a&2\\ a&-4&-4\\ 2-a&3&-2\end{pmatrix}$ es mayor o igual que $2$ ya que encontramos un menor de orden $2$ no nulo: $\begin{vmatrix}-4&-4 \\3&-2\end{vmatrix}=20\neq 0$

Veamos ahora para qué valores de $a$ se anula el menor de orden $3$
$$\begin{vmatrix}1&-a&2\\ a&-4&-4\\ 2-a&3&-2\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a^2-a-6=0\Leftrightarrow a=\left\{\begin{matrix}-2 \\ 3 \end{matrix}\right.$$

De ello, podemos distinguir los siguientes casos:

i) Si $a$ toma el valor $-2$ o bien el valor $3$, el rango, $r$, de la matriz de los coeficientes no es $3$, y, por tanto, según lo dicho arriba, es $2$. Luego, de acuerdo con el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r$ variables secundarias ( $n$ representa el número de incógnitas del sistema ), esto es, con $3-2=1$ variable secundaria

ii) Para cualquier otro valor que tome $a$ ( distinto de $-2$ y de $3$ ), el rango, $r$, de la matriz de los coeficientes es $3$ ( el menor de orden $3$ no se anulará ). Con lo cual, y de acuerdo con el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado ( las tres variables son principales ), la única solución es la trivial $(0,0,0)$

b)
Si $a=3$ nos encontramos en el caso (i) y por tanto el sistema es incompatible indeterminado con $1$ variable secundaria y $2$ variables principales. En este caso el sistema es $$\left\{\begin{matrix}x&-&3\,y&+&2\,z&=&0 \\ 3\,x&-&4\,y&-&4\,z&=&0 \\ -x&+&3\,y&-&2\,z&=&0\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&-&3\,y&+&2\,z&=&0 \\ 3\,x&-&4\,y&-&4\,z&=&0 \end{matrix}\right.$$ por ser la tercera ecuación idéntica a la primera.

Eligiendo $z$ como variable secundaria ( $z=\lambda$ ) podemos escribir el sistema de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&-&3\,y&=&-2\,\lambda \\ 3\,x&-&4\,y&=&4\,\lambda \end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $-3$ la primera ( miembro a miembro ) y sumándola ( miembro a miembro ) a la segunda, llegamos a la ecuación equivalente $$5\,y=10\,\lambda$$ luego $$y=2\,\lambda$$ Y sustituyendo en la primera, encontramos $$x=4\,\lambda$$

Así pues la solución viene dada por el conjunto infinito de $3$-tuplas: $$\{(4\,\lambda\,,\,2\,\lambda\,,\,\lambda):\, \lambda \in \mathbb{R}\}$$ que puede también escribirse así $$\{\lambda\,(4\,,\,2\,,\,1): \, \lambda \in \mathbb{R}\}$$

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Probabilidad y Estadística. Intervalos de confianza. Estimación de la media de una población por intervalos de confianza.

ENUNCIADO. La masa ( en kilogramos ) de los corderos de un rebaño, a las seis semanas de su nacimiento, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica, $\sigma$, igual a $0'9$ kilogramos.

a) Se tomó una muestra aleatoria simple de $324$ corderos y la masa media observada fue $\bar{x}=7'8$ kilogramos. Obténgase un intervalo de confianza con un nivel ( de confianza ) del $99'2\,\%$ para la estimación de $\mu$

b) Determínese el tamaño mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza para $\mu$ al $95\,\%$ ( de confianza ) tenga una amplitud a lo sumo de $0'2$ kilogramos.

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "masa de un cordero". Sabemos que $X$ sigue la distribución normal $N(\mu\,,\,0'9)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=7'8$ kilogramos y $E$ es el máximo error cometido en la estimación, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'992$, entonces $\alpha=0'008$ y por tanto $\alpha/2=0'004$; con lo cual podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'004=0'996$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} = 2'65$

Así pues, $E=2'65\cdot \dfrac{0'9}{\sqrt{324}}=0'1325$ kilogramos $\approx 0'13$ kilogramos, luego el intervalo de confianza pedido es $(7'8-0'13\,,\,7'8+0'13)$ esto es $I_{\mu} \sim (7'7\,,\,7'9)$, expresados los valores de los extremos en kilogramos.

b)
Si suponemos que el nivel de confianza es, ahora, del $95\,\%$, $1-\alpha=0'95$, podemos escribir $\alpha=0'05$ y por tanto $\alpha/2=0'025$, con lo cual $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'025=0'975$, y consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} = 1'96$

Con todo esto, podemos calcular el valor mínimo de $n$, ya que si $E=0'2$ kilogramos, entonces $0'2=1'96 \cdot \dfrac{0'9}{\sqrt{n}}$, de donde se desprende que el valor (mínimo) de $n$ es igual a $(\dfrac{0'9\cdot 1'96}{0'2})^2 = 78$

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Cálculo de probabilidades. Teoremas de la probabilidad total. Teorema de Bayes.

ENUNCIADO. Una empresa de reparto de paquetería clasifica sus furgonetas en función de su antigüedad. El $25\,\%$ de sus furgonetas tiene menos de dos años de antigüedad, el $40\,\%$ tiene una antigüedad de entre dos y cuatro años, y el resto tiene una antigüedad superior a cuatro años. La probabilidad de que una furgoneta se estropee es $0'01$ si tiene una antigüedad inferior a dos años; $0'05$ si tiene una antigüedad de entre dos y cuatro años, y $0'12$ si tiene una antigüedad superior a cuatro años. Se escoge una furgoneta al azar de esta empresa. Calcúlese la probabilidad de que la furgoneta escogida:
a) Se estropee
b) Tenga una antigüedad superior a cuatro años, sabiendo que no se ha estropeado

SOLUCIÓN.
a)
Al escoger una furgoneta al azar, denotemos por:
  $A$ al suceso "tener una antigüedad de menos de 2 años"
  $B$ al suceso "tener una antigüedad de entre 2 y 4 años"
  $C$ al suceso "tener una antigüedad de más de 4 años"
  $D$ al suceso "tener una avería"

Tendremos en cuenta los siguientes datos:
  $P(A)=0,25=\dfrac{1}{4}$
  $P(B)=0,4=\dfrac{2}{5}$
  $P(C)=1-(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{5})=\dfrac{7}{20}$

  $P(D|A)=0,01=\dfrac{1}{100}$
  $P(D|B)=0,05=\dfrac{1}{20}$
  $P(D|C)=0,12=\dfrac{3}{25}$

Tengamos en cuenta que $$D=(D\cap A) \cup (D\cap B) \cup (D\cap C)$$ y como $$(D\cap A) \cap (D\cap B)=(D\cap A) \cap (D\cap C)=(D\cap B) \cap (D\cap C)=\emptyset$$ los tres sucesos son incompatibles y, por tanto, $$P(D)=P(D\cap A)+P(D\cap B)+P(D\cap C)$$ Teniendo en cuenta ahora la fórmula de la probabilidad condicionada, podemos escribir la fórmula de la probabilidad total $$P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)$$ y, con los datos del problema, obtenemos $$P(D)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{100}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{20}+\dfrac{7}{20}\cdot \dfrac{3}{25}=\dfrac{129}{2000}=0,0645$$

b)
Se nos pide ahora que calculemos $P(C|\bar{D})$. Notemos que, desde luego, $P(C\cap \bar{D})=P(\bar{D} \cap C)$ y por tanto $P(C|\bar{D})P(\bar{D})=P(\bar{D}|C)P(C)$; así que, despejando, llegamos a $$P(C|\bar{D})=\dfrac{P(\bar{D}|C)P(C)}{P(\bar{D})}$$ que podemos escribir de la forma $$\dfrac{1-P(D|C)P(C)}{1-P(D)}$$ Y, con los datos, llegamos al siguiente resultado $$P(C|\bar{D})=\dfrac{(1-\dfrac{3}{25})\cdot \dfrac{7}{20}}{1-\dfrac{129}{2000}}=\dfrac{616}{1871}\approx 0,3292$$

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Análisis de una función real de una variable real

ENUNCIADO. Se pide:
a) Determínese el valor de la derivada de la función $f(x)=\dfrac{e^x}{1+x}$ en el punto de abscisa $x=0$
b) Estúdiense las asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^3}{1-x^2}$

SOLUCIÓN.

Programación lineal

ENUNCIADO. Considérese la región del plano $S$ definida por $$S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x+6y\ge 6;5x-2y\ge -2;x+3y\le 20;2x-y\le 12\}$$
a) Represéntese gráficamente la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Determínense los puntos en los que la función $f(x,y)=4x-3y$ alcanza sus valores máximo y mínimo en $S$, indicando el valor de $f(x,y)$ en dichos puntos

SOLUCIÓN. Es conveniente expresar las ecuaciones de $S$ de la forma $$S:\left\{\begin{matrix}y&\ge&-\dfrac{1}{6}\,x&+&1 \\ y&\le &\dfrac{5}{2}x&+&1 \\ y&\le&-\dfrac{1}{3}\,x&+&\dfrac{20}{3} \\ y&\ge&2\,x&-&12 \end{matrix}\right.$$
con lo cual es fácil escribir las ecuaciones de la rectas que contienen los lados de la región factible
$$\left\{\begin{matrix}r_1:y&\ge&-\dfrac{1}{6}\,x&+&1 \\ r_2:y&\le &\dfrac{5}{2}x&+&1 \\ r_3:y&\le&-\dfrac{1}{3}\,x&+&\dfrac{20}{3} \\ r_4:y&\ge&2\,x&-&12 \end{matrix}\right.$$

Procedemos ahora a representar la región factible. Las dos últimas restricciones nos limitan al primer cuadrante. Para representar las tres primeras rectas ( que contienen los lados de la región convexa ), encontremos una pareja de puntos para cada una de ellas: para $r_1$, tenemos $P_1(0,1)$ y $Q_1(6,0)$; para $r_2$, $P_2(0,1)$ y $Q_2(-2/5,0)$; para $r_3$, $P_3(0,20/3)$ y $Q_3(20,0)$; y, para $r_4$, $P_4(0,-12)$ y $Q_4(6,0)$ . Representando dichas rectas e interpretando correctamente el sentido de las desigualdades del sistema de restricciones, obtenemos la siguiente región factible:

En la figura aparecen las coordenadas de los vértices, que hemos calculado teniendo en cuenta que

$A=r_1 \cap r_4$, y por tanto éstas deben satisfacer el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-\dfrac{1}{6}\,x&+&2 \\ y&=&2x&-&12 \end{matrix}\right.$

$B=r_1 \cap r_2$, debiéndose resolver el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-\dfrac{1}{6}\,x&+&2 \\ y&= &\dfrac{5}{2}x&+&1 \end{matrix}\right.$

$C=r_2 \cap r_3$, debiéndose cumplir que $\left\{\begin{matrix}y&= &\dfrac{5}{2}x&+&1 \\ y&=&-\dfrac{1}{3}\,x&+&\dfrac{20}{3}\end{matrix}\right.$

y $D=r_3 \cap r_4$, debiéndose cumplir que $\left\{\begin{matrix}y&=&-\dfrac{1}{3}\,x&+&\dfrac{20}{3}\\ y&=&2\,x&-&12 \end{matrix}\right.$

Nota: Es muy fácil resolver estos sistemas, por lo que se omite el cálculo.

b)
La familia de rectas asociada a la función obtetivo ( haz de rectas paralelas ) $f(x,y)=4x-3y$ viene descrita por $k=4x-3y$, donde hemos asignado a $f$ el parámetro $k$, esto es cada una de las rectas del haz tiene por ecuación explícita $y=\dfrac{4}{3}x+(-\dfrac{k}{3})$, con un valor concreto de $k$ para cada una.

En la figura hemos representado una de ellas en color rojo, cuya ecuación es $y=\dfrac{4}{3}x$ ( dando a $k$ el valor cero ). Desplazando dicha recta paralelamente a sí misma, de forma que barra todos los puntos de la región factible, vemos que $A(6,0)$ corresponde al mínimo de $-\dfrac{k}{3}$ y, por tanto, al máximo de $k$ ( esto es, de $f(x,y)$ ); por otra parte, $C(2,6)$ corresponde al máximo de $-\dfrac{k}{3}$ y por tanto al mínimo de $k$ ( es decir, de $f(x,y)$):

Así, sustituyendo las coordenadas de sendos puntos, $A$ y $C$, en $f(x,y)=4x-3y$, encontramos que el máximo de $f$ ( que se alcanza en $A(6,0)$ ) es igual a $f(6,0)=4\cdot 6 -3\cdot 0=24$; y, el mínimo de $f$ ( que se alcanza en $C(2,6)$ ) es igual a $f(2,6)=4 \cdot 2 - 3\cdot 6=-10$

Nota: Podemos comprobar que en el punto $B(0,1)$ y $D(8,4)$ se alcanzas valores comprendidos entre el mínimo y el máximo; en efecto, $f(0,1)=-3$ y $f(8,4)=20$, con lo cual $-10 \prec f_{B}(0,1) \prec 24$ y $-10 \prec f_{D}(8,4) \prec 24$

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Cálculo con matrices. Matriz inversa. Determinante de una matriz cuadrada

ENUNCIADO. Considérense las matrices $A=\begin{pmatrix}1&2&-k \\ 1&-2&1 \\ k&2&-1 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 0&2&2 \\ 0&0&3 \end{pmatrix}$
a) Discútase para qué valores del parámetro $k$ la matriz $A$ tiene matriz inversa
b) Determínese, para $k=0$, la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX=B$

SOLUCIÓN.
a) Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si su determinante es nulo. Impongamos que el determinante de $A$ sea nulo y resolvamos la ecuación resultante; su solución corresponderá a los valores de $k$ para los cuales $A$ no admite matriz inversa:
$$\begin{vmatrix}1&2&-k \\ 1&-2&1 \\ k&2&-1 \end{vmatrix} \Leftrightarrow 2\,(1-k^2)=0 \Leftrightarrow k=\pm1$$ Por lo que podemos afirmar que la matriz $A$ tiene inversa siempre que $k$ sea distinto de $\pm 1$

b) Si $k=0$, entonces $A$ es $\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 1&-2&1 \\ 0&2&-1 \end{pmatrix}$. Notemos que si $AX=B$ entonces $X=A^{-1}B$; por tanto, debemos calcular la matriz inversa de $A$ para resolver la ecuación matricial, para lo cual podemos optar por emplear el método de Gauss-Jordan o bien el de la matriz adjunta. Los pormenores de dichos cálculos se han mostrado en muchos ejercicios que el lector puede consultar en este mismo blog [por ejemplo: (1),(2)], así que nos limitaremos a dar la solución, que es la siguiente $$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&1 \\ 1/2&-1/2&-1/2 \\ 1&-1&-2 \end{pmatrix}$$ por tanto $$X=\begin{pmatrix}0&1&1 \\ 1/2&-1/2&-1/2 \\ 1&-1&-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 0&2&2 \\ 0&0&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2&5 \\ 1/2&-1/2&-2 \\ 1&-1&-7 \end{pmatrix}$$
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Cálculo de probabilidades y estadística. Estimación por intervalos de confianza

ENUNCIADO. La masa, en gramos, de la bandeja de salmón crudo que se vende en una pescadería, se puede aproximar por una variable aleatoria aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=25$ gramos. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de $10$ bandejas.
a) Si la media muestral de las masas ha sido $\bar{x}=505$ gramos, calcúlese un intervalo de confianza al $99\,\%$ para la media poblacional $\mu$
b) Supóngase ahora que $\mu=500$ gramos. Calcúlese la probabilidad de que la masa total de esas $10$ bandejas sea mayor o igual a $5030$ gramos.

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población "masa de una bandeja". Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,25)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=505$ gramos y $E$ es el máximo error cometido en la estimación, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y cuyo valor vamos a calcular a continuación: como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'99$, $\alpha=0'01$ y por tanto $\alpha/2=0'005$; entonces $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'005=0'995$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa $z_{\alpha/2} \approx 2'57$

Así, $E=2'57 \cdot \dfrac{25}{\sqrt{10}} \approx 20'32$. Y, por consiguiente, el intervalo de confianza pedido para la media de la población es $(505-20'32\,,\,505+20'32)$ esto es $(484'68\,,\,525'32)$, intervalo que, en buena lógica, podemos aproximar a $(485\;,\;525)$ gramos.

b)
Partimos ahora del siguiente dato: $\mu=500$ gramos. Por el teorema Central del Límite, la variable $\bar{X}=\dfrac{X_1+\ldots+X_n}{n}$ sigue una distribución $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, con lo cual la variable aleatoria $Y:=X_1+\ldots+X_n$ sigue una distribución $N(n\cdot \mu\,,\,\sigma\cdot \sqrt{n}$. En el caso que nos ocupa, $n=10$, y deseamos calcular $P\{Y \ge 5030\}$. Tipificando la variable $Y$ mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-10\cdot 500}{25\,\sqrt{10}}$, donde $Z:N(0,1)$. Así,
$P\{Y \ge 5030\}=P\{Z \ge \dfrac{5030-500}{25\,\sqrt{10}}\}=P\{Z \ge 0'3795\}=$
$=1-P\{Z\le 0'3795\} \quad \quad (1)$
En las tablas de la distribución de probabilidad de $Z:N(0,1)$ encontramos que $F(0'37)=0'6443$ y $F(0'38)=0'6480$; no leemos exactamente $F(0,8660)$, por lo que procedemos a interpolar linealmente en el intervalo $(0'37\,,\,0'38)$ para calcular el valor aproximado de $F(0'3795)$; así, $$F(0'3795) \approx (0'6480-0'6443)\cdot \dfrac{0,3795-0,38}{0,38-0,37}+0'6480=0'6478$$
por consiguiente, sustituyendo en (1), encontramos la probabilidad pedida: $1-0'6478=0'3522 \approx 35\,\%$
$\square$

Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Una máquina tiene dos chips de control $A$ y $B$. Se sabe que al encener la máquina: la probabilidad de que falle el chip $A$ es de $0,2$; la probabilidad de que falle el chip $B$ es $0,3$, y la probabilidad de que fallen los dos es $0,015$. Calcúlese la probabilidad de que al encender la máquina:
a) Haya fallado el chip $A$ si se sabe que ha fallado el chip $B$
b) No falle ninguno de los dos chips

SOLUCIÓN. Denotemos por $A$ al suceso 'falla el chip A' y por $B$ al suceso 'falla el chip B'. Entonces,
a) $P(A|B)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,015}{0,3}=0,05$
b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})\overset{\text{Morgan}}{=}P(\overline{A \cup B})=$
  $=1-P(A\cup B)\overset{\text{inclusión-exclusión}}{=}1-(P(A+P(B)-P(A\cap B))=$
  $=1-(0,2+0,3-0,015)$
  $=0,515$
$\square$

Análisis de funciones

ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de una función real de variable real es $f'(x)=x^2+8x+15$
a) Determínese la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(1)=\dfrac{1}{3}$
b) Determínense los máximos y mínimos locales de $f(x)$, si los tiene

SOLUCIÓN.
a)
Por el primer teorema fundamental del cálculo $$f(x)=\int\,f'(x)\,dx + C$$ luego $$f(x)=\int\,(x^2+8x+15)\,dx+C=\dfrac{1}{3}x^3+4x^2+15x+C$$ Para determinar el valor de la constante de integración $C$ imponemos $f(1)=\dfrac{1}{3}$, con lo cual $$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\cdot 1^3+4\cdot 1^2+15\cdot 1+C$$ y despejando $C$, llegamos a $C=-19$, por tanto $$f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+4x^2+15x-19$$

b)
La condición necesaria para que $x$ sea un extremo relativo es $f'(x)=0$, luego $$x^2+8x+5=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2-5\cdot 1\cdot 5} } {2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-4+\left|\sqrt{11}\right| \\ -4-\left|\sqrt{11}\right| \end{matrix}\right.$$ Así pues hay dos extremos relativos: $x_1=-4+\left|\sqrt{11}\right|$ y $x_2=-4-\left|\sqrt{11}\right|$.

Veamos a continuación su naturaleza; para ello emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada en dichos puntos, $f''(x)=2x+8$.

$f''(-4+\left|\sqrt{11}\right|)=2\,\left|\sqrt{11}\right| \succ 0 \Rightarrow x_1=-4+\left|\sqrt{11}\right|$
  $\, \text{es la abscisa de un mínimo local}$ y su ordenada es $f(-4+\left|\sqrt{11}\right|)=-\dfrac{1}{3}\,(109-8\left|\sqrt{11}\right|) \approx -27,5$

$f''(-4-\left|\sqrt{11}\right|)=-2\,\left|\sqrt{11}\right| \prec 0 \Rightarrow x_1=-4-\left|\sqrt{11}\right|$
  $\, \text{es la abscisa de un máximo local}$ y su ordenada es $f(-4-\left|\sqrt{11}\right|)=-\dfrac{1}{3}\,(109+8\left|\sqrt{11}\right|) \approx -45,2$

Nota: No hay máximo absoluto ni mínimo absoluto, pues al ser la función $f(x)$ polinómica de grado $3$ no está acotada ni superior ni inferiormente.

$\square$

Un ejercicio sobre continuidad y derivabilidad. Determinación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}5x+1&\text{si}&x\le 0 \\ x^2+5x+1&\text{si}&x > 0\end{matrix}\right.$$
a) Determínese si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=3$

SOLUCIÓN.
a)
Para que una función sea derivable en un punto de su dominio de definición ésta ha de ser continua en dicho punto, además debe existir el límite con el que se define la derivada de la función en dicho punto. Veamos si se cumplen estas condiciones.

La función $f(x)$ es continua en $x=0$ pues la función está definida en $x=0$ y es igual a $f(0)=5\cdot 0+1=1$, y los límites por la izquierda y por la derecha existen y sus valores coinciden (existe el límite en el punto $x=0$) y son iguales a $f(0)=1$; en efecto,
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)=5\cdot 0+1=1$
y
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x)=c^2+5\cdot 0+1=1$
con lo cual $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,f(x)=1=f(0)$

Por otra parte los límites que definen las derivadas por la izquierda y por la derecha existen y coinciden en su valor ( que es el valor de la derivada en $x=0$ ): $((5x+1)')|_{x=0}=5$ y $((x^2+5x+1)')|_{x=0}=((2x+5))|_{x=0}=2\cdot 0+5=5$, luego la función $f(x)$ es derivable en $x=0$ y su derivada en ese punto es $5$.

b)
En $x=3$ podemos determinar la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ pues el tramo que corresponde a ese punto es continuo y derivable ( por ser un polinomio de segundo grado ). Sea la ecuación en forma explícita de la recta tangente $t:y=mx+k$ en dicho punto. Vamos a determinar los valores de los coeficientes $m$ ( pendiente de la recta ) y $k$ ( ordenada en el origen ).

$m\overset{\text{def}}{=}f'(3)=((x^2+5x+1)')|_{x=3}=(2x+5)|_{x=3}=2\cdot 3+5=11$, con lo cual podemos escribir $t:y=11\,x+k$, veamos ahora, cuál es el valor de $k$: como en $x=3$ se tiene que cumplir que $f(3)=(11\,x+k)_{x=3}$, vemos que $f(3)=11\cdot 3 +k$, luego $k=f(3)-33$, esto es, $k=(3^2+5\cdot 3+1)-33=-8$. Así concluimos que la ecuación de la recta tangente pedida es $t:y=11\,x-8$
$\square$

Discútase el sistema en función del parámetro $a$ y, finalmente, resuélvase para un valor fijado del mismo

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ -x&+&3y&+&z&=&1 \\ -x&+&ay&+&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$
a) Discútase para los diferentes valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=1$

SOLUCIÓN.
a)
La primera etapa del proceso de reducción nos lleva a
$$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ -x&+&3y&+&z&=&1 \\ -x&+&ay&+&2z&=&0 \end{matrix}\right\}\overset{e_3-e_1 \rightarrow e_3\,;\,e_2-e_1\rightarrow e_1}{\sim}$$ $$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ &&&&-2z&=&1 \\ &&(a-3)\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right\}$$ De la segunda ecuación obtenemos $z=-\dfrac{1}{2}$, y sustituyendo en la primera y en la tercera llegamos a $$\left.\begin{matrix}x&-&3y&=&\dfrac{3}{2} \\ &&(a-3)\,y&=&-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right\}$$ De la segunda ecuación vemos que si $a=3$, entonces llegamos a una contradicción $0=-\dfrac{1}{2}$; con lo cual, para $a=3$ el sistema es incompatible. Y en el caso de que $a\neq 3$, el sistema es compatible determinado, ya que el rango ( del sistema ) es $3$, que es igual al número de incógnitas.

b)
Si $a$ toma el valor $1$ el sistema es compatible determinado, pues $1\neq 3$. Habrá que resolver pues el sistema $$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ &&&&-2z&=&1 \\ &&-2\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right\}$$ Ya sabemos ( despejando de la segunda ecuación ) que $z=-\dfrac{1}{2}$; así que, sustituyendo este valor en las ecuaciones primera y tercera, llegamos a $$\left.\begin{matrix}x&-&3y&=&\dfrac{3}{2} \\ &&2\,y&=&\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right\}$$ luego, de la segunda, obtenemos $$y=\dfrac{1}{4}$$ Y sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, encontramos $$-x=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}$$ esto es $$x=-\dfrac{3}{4}$$
$\square$

Estimación de la media por intervalo de confianza

La producción diaria de cemento, media en toneladas, de una factoría cementera se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=9$ toneladas.
a) Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$ tenga una amplitud a lo sumo de $2$ toneladas
b) Se toman los datos de producción de $16$ días escogidos al azar. Calcúlese la probabilidad de que la media de las producciones obtenidas, $\bar{X}$, sea menor o igual que $197,5$ toneladas si sabemos que $\mu=202$ toneladas

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población "masa de la producción diaria". Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,9)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=2$ toneladas y $E$ la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ), y viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'95$, entonces $\alpha=0'05$ y por tanto $\alpha/2=0'025$; podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'025=0'975$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} \approx 1'96$

Con todo esto, podemos calcular el valor mínimo de $n$, ya que si $E=2$, entonces $2=1'96 \cdot \dfrac{9}{\sqrt{n}}$, de donde se desprende que el valor (mínimo) de $n$ es igual a $n \ge (\dfrac{9\cdot 1'96}{2})^2 = 78$

b)
Procedemos a calcular ahora $P\{\bar{X}\} \le 197'5$, teniendo en cuenta que, por el Teorema del Límite Central, $\bar{X}$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$. Disponemos de los siguientes datos: $\mu=202$ toneladas ( media de la población ), y $n=16$ días ( tamaño de la muestra ).

$P\{\bar{X}\le 197'5\}\overset{\text{tipificando la variable}}{=}P\{Z\le-2\}=P\{Z\ge 2 \}=1-P\{Z \prec 2\}=$
    $\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}1-0'9772=0'0228$
$\square$

Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. El profesorado de cierta Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales está compuesto por profesores de Economía y de Empresa. El $60\,\%$ son de Economía y el $40\,\%$ de Empresa. Además, el $55\,\%$ del profesorado de dicha facultad son mujeres. De ellas, el $52\,\%$ son de Empresa. Calcúlese la probabilidad de que un miembro de dicha facultad elegido al azar:
a) Sea mujer si se sabe que es de Empresa
b) Sea de Economía y mujer

SOLUCIÓN. Designemos los siguientes sucesos:
$E=$ "la persona elegida es de Economía"
$R=$ "la persona elegida es de Empresa"
$M=$ "la persona elegida es mujer"

a)
Nos proponemos calcular $P(M|R)$. Disponemos de los siguientes datos: $P(E)=\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5}$, $P(R)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$, $P(M)=\dfrac{55}{100}=\dfrac{11}{20}$ y $P(R|M)=\dfrac{52}{100}=\dfrac{13}{25}$.

Desde luego, $P(M\cap R)=P(R\cap M)$; y por la definición de probabilidad condicionada, $P(M \cap R)=P(M|R)P(R)$ y $P(R \cap M)=P(R|M)P(M)$, luego $P(M|R)P(R)=P(R|M)P(M)$, y, por tanto $$P(M|R)=\dfrac{P(R|M)P(M)}{P(R)}=\dfrac{\dfrac{13}{25}\cdot \dfrac{11}{20}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{143}{200}=0,715$$

b)
Empleando otra vez la definición de probabilidad condicionada, podemos escribir $$P(E\cap M)=\dfrac{P(E|M)}{P(M)}$$ donde $P(E|M)=P(\bar{R}|M)=1-P(R|M)$ luego $$P(E\cap M)=\dfrac{1-P(R|M)}{P(M)}=\dfrac{1-\dfrac{13}{25}}{\dfrac{11}{20}}=\dfrac{48}{55}\approx 0,8727$$
$\square$

Cálculo de áreas ( integración ) y análisis del crecimiento/decrecimiento de una función

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $f(x)=x^3-4x^2+3x$
a) Calcúlese el área de la región acotada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y por las rectas $x=0$ y $x=3$
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$

SOLUCIÓN.
a) Al tratarse de un polinomio, el dominio de definición de la función es la totalidad de $\mathbb{R}$ y ésta es continua en todos los puntos. Veamos cuáles son las raíces de $f(x)$:

$0=x^3-4x^2+3x \Leftrightarrow x\,(x^2-4x+3)=0 \Leftrightarrow$
$ \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}0 \\ \\ \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

Entonces, el área pedida viene dada por:
$$\displaystyle |\int_{0}^{1} f(x)\,dx| + |\int_{1}^{3} f(x)\,dx|=|F(1)-F(0)|+|F(3)-F(1)| \quad \quad (1)$$ siendo $F(x)=\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{4}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2$ una función primitiva de $f(x)$. Teniendo en cuenta que $F(0)=0$, $F(1)=\dfrac{5}{12}$ y $F(3)=-\dfrac{9}{4}$, entonces (1) es igual a $|\dfrac{5}{12}-0|+|-\dfrac{9}{4}-\dfrac{5}{12}|=|\dfrac{5}{12}|+|-\dfrac{8}{3}|=$
    $=\dfrac{5}{12}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{37}{12} \; \text{unidades de área}$

b) Veamos cuáles son los máximos y mínimos relativos de $f(x)$. Para ello, impongamos la condición necesaria de existencia de extremos relativos $f'(x)=0$, esto es $3x^2-8x+3=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{4-\sqrt{7}}{3} \\ \dfrac{4+\sqrt{7}}{3} \end{matrix}\right.$

Para averiguar la naturaleza de estos valores, emplearemos el criterio de la segunda derivada:
Como $f''(x)=6x-8$, tenemos que $f''(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})=-2\sqrt{7}\prec 0$, luego la abscisa $\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un máximo local; por otra parte, $f''(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})=2\sqrt{7}\succ 0$, luego la abscisa $\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un mínimo local. Teniendo en cuenta que, por ser un polinomio, la función es continua en todos los puntos, y que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)=-\infty$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,f(x)=+\infty$, deducimos de ello que los intervalos de crecimiento son $(-\infty\,,\,\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$ y $(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$ Por otra parte, hay un sólo intervalo de decrecimiento cuyos extremos inferior y superior corresponden a las abscisas del máximo local y la del mínimo local, respectivamente: $(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}\,,\,\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$

$\square$

Un ejercicio de programación lineal

ENUNCIADO. Sea $S$ la región del plano definida por $S:\left\{\begin{matrix}x+y\ge 2 \\ 2x-y \le 4\\ 2y-x\le 4 \\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{matrix}\right.$
a) Represéntese la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Obténganse los valores máximo y mínimo de la función $f(x,y)=-5x+3y$ en $S$, indicando los puntos de dicha región en los cuales se alcanzan los valores máximo y mínimo

SOLUCIÓN. Es conveniente expresar las ecuaciones de $S$ de la forma $$S:\left\{\begin{matrix}y&\ge&-x&+&2 \\ y&\ge&2x&-&4 \\ y&\le&-\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \\ x&\ge&0 \\ y&\ge&0 \end{matrix}\right.$$
con lo cual es fácil escribir las ecuaciones de la rectas que contienen los lados de la región factible
$$\left\{\begin{matrix}r_1:&y&=&-x&+&2 \\ r_2:&y&=&2x&-&4 \\ r_3:&y&=&-\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \\ r_4:&x&=&0 \\ r_5:&y&=&0 \end{matrix}\right.$$

Procedemos ahora a representar la región factible. Las dos últimas restricciones nos limitan al primer cuadrante. Para representar las tres primeras rectas ( que contienen los lados de la región convexa ), encontremos una pareja de puntos para cada una de ellas: para $r_1$, tenemos $P_1(0,2)$ y $Q_1(2,0)$; para $r_2$, $P_2(0,-4)$ y $Q_2(2,0)$; y, para $r_3$, $P_3(0,2)$ y $Q_3(-4,0)$. Representando dichas rectas e interpretando correctamente el sentido de las desigualdades del sistema de restricciones, obtenemos la siguiente región factible:

En la figura aparecen las coordenadas de los vértices, que hemos calculado teniendo en cuenta que $A=r_1 \cap r_2$, y por tanto éstas deben satisfacer el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-x&+&2 \\ y&=&2x&-&4 \end{matrix}\right.$; $B=r_1 \cap r_3$, debiéndose resolver el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-x&+&2 \\ y&=&\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \end{matrix}\right.$ y $C=r_2 \cap r_3$, debiéndose cumplir que $\left\{\begin{matrix}y&=&2\,x&-&4 \\ y&=&\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \end{matrix}\right.$. Es muy fácil resolver estos sistemas, por lo que se omite el cálculo.

b)
La familia de rectas asociada a la función obtetivo ( haz de rectas paralelas ) $f(x,y)=-5x+3y$ viene descrita por $k=-5x+3y$, donde hemos asignado a $f$ el parámetro $k$, esto es cada una de las rectas del haz tiene por ecuación explícita $y=\dfrac{5}{3}x+\dfrac{k}{3}$, con un valor concreto de $k$ para cada una.

En la figura hemos representado una de ellas en color rojo, cuya ecuación es $y=\dfrac{5}{3}x$ ( dando a $k$ el valor cero ). Desplazando dicha recta paralelamente a sí misma de forma que barra todos los puntos de la región factible, es evidente que $A(2,0)$ corresponde al mínimo de $f(x,y)$ y que $B(0,2)$ corresponde al máximo, pues $f$ alcanza el mínimo cuando la recta desplazada pasa por el punto $A$ y $f$ alcanza el máximo al pasar por el punto $B$, pues al acanzar $\dfrac{k}{3}$ el mínimo ( respectivamente, el mínimo ) $f(x,y)$ alcanza también el máximo ( respectivamente, el máximo):

Así, sustituyendo las coordenadas de sendos puntos en $f(x,y)=-5x+3y$, encontramos que el mínimo de $f$ ( que se alcanza en $A(2,0)$ ) es igual a $f(2,0)=-5\cdot 2 +3\cdot 0=-10$; y, el máximo de $f$ ( que se alcanza en $B(0,2)$ ) es igual a $f(0,2)=-5 \cdot 0 + 3\cdot 2=6$

Nota: Podemos comprobar que en el punto $C(4,4)$ se alcanza un valor comprendido entre el mínimo y el máximo; en efecto, $-10 \prec f(4,4)=-5\cdot 4 + 3\cdot 4=-8 \prec 6$

$\square$

Cálculo con matrices

ENUNCIADO. Considérense las matrices $A=\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 3&5&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}$
a) Calcúlese la matriz $D=A^{\top}B$. ¿ Existe la matriz $F=AB$ ?
b) Calcúlese la matriz $M=B^{-1}$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz transpuesta de $A$ es $A^{\top}=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, luego la matriz $D$ pedida es $A^{\top}B=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&15 \\ 9&26 \\ 1 & 4\end{pmatrix}$

$A$ es una matriz $2 \times 3$ y $B$ es una matriz $2 \times 2$, luego no es posible realizar el producto $AB$ ( el número de columnas de $A$, que es $3$, no co coincide con el número de filas de $B$, que es $2$ ) y por tanto no existe la matriz $F$

b)
Observemos que el determinante de $B$ es distinto de cero, por lo que está garantizada la existencia de matriz inversa. Procedemos a calcularla, empleando el método de Gauss-Jordan
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right) \overset{f_2-\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{f_1-\frac{2}{5}\cdot 3\,f_2\rightarrow f_1}{\rightarrow}$
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 0 & 8/5 & -6/5 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_1\,;\,\frac{2}{5}\,f_2\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 4/5 & -3/5 \\
0 & 1 & -1/5 & 2/5
\end{array}\right)$
Así, pues, $B^{-1}=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}$

Comprobación: $BB^{-1}=\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y
$B^{-1}B=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

$\square$

En una investigación ...

ENUNCIADO. En una investigación de un delito de fraude se observa (en el lugar de los hechos) que: la evidencia $A$ aparece en una proporción del $60\,\%$; la evidencia $B$, habiéndose dado la evidencia $A$, aparece en una proporción del $80\,\%$; y, no habiéndose dado la evidencia $A$, la evidencia $B$ se observa en un $40\,\%$. Se pide:

a) ¿ En qué proporción aparece $B$ ?
b) ¿ En qué proporción no aparece ninguna de dichas evidencias
c) No habiendo observado la evidencia $B$, ¿ en qué proporción no aparece la evidencia $A$ ?
d) ¿ En qué proporción aparece una sola de las dos evidencias ?
e) ¿ En qué proporción aparece alguna de las dos evidencias ?

SOLUCIÓN.
Los datos del problema son:
$P(A)=0,6$
$P(B|A)=0,8$
$P(B|\bar{A})=0,4$

Emplearemos: la fórmula de la probabilidad condicionada; el teorema de la probabilidad total, y algunas de las propiedades con sucesos.

a)
$P(B)=P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{B})$
  $=0,8\cdot 0,6+0,4\cdot (1-0,6)$
    $=0,64=64\,\%$

b)
$P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{B} \cap \bar{A})=P(\bar{B}|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
  $=(1-P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
    $=(1-0,4)\cdot (1-0,6)$
      $=0,24=24\,\%$

c)
$P(\bar{A} | \bar{B})=\dfrac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$
  $=\dfrac{P(\bar{B} \cap \bar{A})}{1-P(B)}$
    $=\dfrac{0,24}{1-0,64}$
      $=\dfrac{2}{3}\approx 67\,\%$

d)
$P((A\cap \bar{B}) \cup ( \bar{A} \cap B))=P(A-B)+P(B-A)$
  $=P(\bar{B}\cap A)+P(\bar{A} \cap B)$
  $=P(\bar{B}\cap A)+P(B \cap \bar{A})$
    $=P(\bar{B}|A)\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
      $=(1-P(B|A))\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot (1-P(A)$
        $=(1-0,8)\cdot 0,6+0,4\cdot (1-0,6)$
          $=0,28=28\,\%$

e)
$P(A \cup B)=1-P(\bar{A} \cap \bar{B})$
  $=1-0,24$
    $=0,76=76\,\%$

$\square$

Paradoja de la Caja de Bertrand (1889)

ENUNCIADO. Una urna $U_1$ contiene dos bolas blancas; otra urna $U_2$ contiene dos bolas negras; y una tercera urna $U_3$ contiene una bola blanca y una bola negra. Se elige una urna al azar y se extrae una primera bola de la misma, que resulta ser blanca. Se extrae a continuación una segunda bola de la misma urna. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas ?. [Joseph Bertrand, 1822-1900]

SOLUCIÓN. En contra de lo que se podría responder ( sin un detenida reflexión ), la probabilidad pedida no es igual a $1/2$ sino a $2/3$. Vamos a justificarlo.
Denotemos por $B_1$ al suceso obtener bola blanca en la primera extracción y $B_2$ al suceso obtener bola blanca en la segunda extracción. Denominaremos $U_1$, $U_2$ y $U_3$ a los sucesos, elegir la urnas respectivas. Entonces, la probabilidad pedida se escribirá
$$P(B_2|B_1)=\dfrac{P(B_2 \cap B_1)}{P(B_1)} \quad \quad (1)$$ Notemos que $P(B_2 \cap B_1)=P(U_1)=\dfrac{1}{3}$ puesto que obtener dos bolas blancas de la misma urna sólo puede ser posible si se ha elegido la urna $U_1$.

Por otra parte,
$P(B_1)=P(B_1|U_1)\cdot P(U_1)+P(B_1|U_2)\cdot P(U_2)+P(B_1|U_3)\cdot P(U_3)$
  $=1\cdot \dfrac{1}{3}+0\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$

Por consiguiente, sustituyendo en (1) lo calculado, llegamos a $$P(B_2|B_1)=\dfrac{1/3}{1/2}=\dfrac{2}{3}$$
$\square$