Cálculo con matrices

ENUNCIADO. Considérense las matrices $A=\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 3&5&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}$
a) Calcúlese la matriz $D=A^{\top}B$. ¿ Existe la matriz $F=AB$ ?
b) Calcúlese la matriz $M=B^{-1}$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz transpuesta de $A$ es $A^{\top}=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, luego la matriz $D$ pedida es $A^{\top}B=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&15 \\ 9&26 \\ 1 & 4\end{pmatrix}$

$A$ es una matriz $2 \times 3$ y $B$ es una matriz $2 \times 2$, luego no es posible realizar el producto $AB$ ( el número de columnas de $A$, que es $3$, no co coincide con el número de filas de $B$, que es $2$ ) y por tanto no existe la matriz $F$

b)
Observemos que el determinante de $B$ es distinto de cero, por lo que está garantizada la existencia de matriz inversa. Procedemos a calcularla, empleando el método de Gauss-Jordan
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right) \overset{f_2-\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{f_1-\frac{2}{5}\cdot 3\,f_2\rightarrow f_1}{\rightarrow}$
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 0 & 8/5 & -6/5 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_1\,;\,\frac{2}{5}\,f_2\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 4/5 & -3/5 \\
0 & 1 & -1/5 & 2/5
\end{array}\right)$
Así, pues, $B^{-1}=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}$

Comprobación: $BB^{-1}=\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y
$B^{-1}B=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

$\square$