Probabilidad y Estadística. Intervalos de confianza.

ENUNCIADO. La masa ( en toneladas ) de los contenedores de un barco de carga se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma=3$ toneladas. Se toma una muestra aleatoria simple de $484$ contenedores. Se pide:
a) Si la media de la muestra es $\bar{x}=25'9$ toneladas, obténgase un intervalo de confianza para $\mu$ con un nivel ( de confianza ) del $90\,\%$
b) Supóngase ahora que $\mu=23$ toneladas. Calcúlese la probabilidad de que puedan transportarse en un barco cuya capacidad de carga máxima es de $11\,000$ toneladas

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "masa del contenedor". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=3$ toneladas. La media de la muestral es $\bar{x}=25'9$ toneladas, siendo el tamaño de la muestra $n=484$. Por el Teorema del Límite Central, podemos decir que la variable $\bar{X}$ es $N(\mu,\dfrac{3}{\sqrt{484}})$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E$ la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) y viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'90$, entonces $\alpha=0'10$ y por tanto $\alpha/2=0'05$; podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'05=0'95$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} \approx 1'64$ . Así pues $E=1'64\cdot \dfrac{3}{484} \approx 0,3$ ( aproximando por exceso ), luego el intervalo de confianza pedido es $I=(25'9-0'3\,,\,25'9+0'3)$, esto es $(25'6\,,\,26'2)$ toneladas

b)
Consideremos ahora la variable aleatoria $Y=X_1+X_2+\ldots+X_n$, donde $n=484$ y cada una de las $n$ variables $X_i \; (i=1,\ldots,n)$ es $N(\mu,\sigma)$, con $\sigma=3$ toneladas, y suponiendo, ahora, que $\mu=23$ toneladas. En estas condiciones $Y$ es $N(n\,\mu\,,\,\dfrac{n\,\sigma}{\sqrt{n}})$, esto es $N(n\,\mu\,,\,\sqrt{n}\,\sigma)$, que con los datos es $N(11\,132\,,\,66)$

Procedemos a calcular ahora la probabilidad pedida
$P\{Y \prec 11\,000\}\overset{\text{tipificando}}{=}P\{Z \prec \dfrac{11\,132-11\,000}{66}\}$
    $=P\{ Z\prec 2\}$
    $\approx 0'9772$ ( consultando las tablas de la función $F(z)$, donde $Z$ es $N(0\,,\,1)$

$\square$