Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. El profesorado de cierta Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales está compuesto por profesores de Economía y de Empresa. El $60\,\%$ son de Economía y el $40\,\%$ de Empresa. Además, el $55\,\%$ del profesorado de dicha facultad son mujeres. De ellas, el $52\,\%$ son de Empresa. Calcúlese la probabilidad de que un miembro de dicha facultad elegido al azar:
a) Sea mujer si se sabe que es de Empresa
b) Sea de Economía y mujer

SOLUCIÓN. Designemos los siguientes sucesos:
$E=$ "la persona elegida es de Economía"
$R=$ "la persona elegida es de Empresa"
$M=$ "la persona elegida es mujer"

a)
Nos proponemos calcular $P(M|R)$. Disponemos de los siguientes datos: $P(E)=\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5}$, $P(R)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$, $P(M)=\dfrac{55}{100}=\dfrac{11}{20}$ y $P(R|M)=\dfrac{52}{100}=\dfrac{13}{25}$.

Desde luego, $P(M\cap R)=P(R\cap M)$; y por la definición de probabilidad condicionada, $P(M \cap R)=P(M|R)P(R)$ y $P(R \cap M)=P(R|M)P(M)$, luego $P(M|R)P(R)=P(R|M)P(M)$, y, por tanto $$P(M|R)=\dfrac{P(R|M)P(M)}{P(R)}=\dfrac{\dfrac{13}{25}\cdot \dfrac{11}{20}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{143}{200}=0,715$$

b)
Empleando otra vez la definición de probabilidad condicionada, podemos escribir $$P(E\cap M)=\dfrac{P(E|M)}{P(M)}$$ donde $P(E|M)=P(\bar{R}|M)=1-P(R|M)$ luego $$P(E\cap M)=\dfrac{1-P(R|M)}{P(M)}=\dfrac{1-\dfrac{13}{25}}{\dfrac{11}{20}}=\dfrac{48}{55}\approx 0,8727$$
$\square$