Cálculo de probabilidades. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes

ENUNCIADO. El $30\,\%$ de los individuos de una determinada localidad son jóvenes. Admitimos que: si una persona es joven, la probabilidad de que lea prensa al menos una vez por semana es $0'20$; y, si una persona lee prensa al menos una vez por semana, la probabilidad de que no sea joven es $0'9$. Se escoge una persona al azar. Calcúlese la probabilidad de que esa persona:
a) No lea prensa al menos una vez por semana
b) No lea prensa al menos una vez por semana o no sea joven

SOLUCIÓN.
Sea los siguientes sucesos: $J$="ser joven" y $R$="leer la prensa al menos una vez por semana". Contamos con los siguientes datos: $P(J)=0,3$; $P(R|J)=0,2$ y $P(\bar{J}|R)=0,9$ y por lo tanto $P(J|R)=1-0,9=0,1$

a) Nos proponemos calcular $P(\bar{R})$; para ello calcularemos, primero, $P(R)$. Desde luego, podemos escribir $P(J\cap R)=P(R \cap J)$, y por la definición de probabilidad condicionada, llegamos a $P(J|R)P(R)=P(R|J)P(J)$, esto es $0,1\cdot P(R)=0,2\cdot 0,3$ con lo cual $P(R)=\dfrac{0,2\cdot 0,3}{0,1}=\dfrac{3}{5}$ y, por consiguiente, $P(\bar{R})=1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5}$

b) Calcularemos ahora $P(\bar{R} \cup \bar{J})$ que, por la ley de Morgan, es lo mismo que $P(\overline{R \cap J})$, entonces la probabilidad pedida es igual a $$1-P(R \cap J)=1-P(R|J)P(J)=1-0,06=0,04=\dfrac{1}{25}$$

$\square$