Cáculo con matrices

ENUNCIADO. Considérense las matrices $$A=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$$ $$B=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1\end{pmatrix}$$ $$C=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}$$ Se pide:
a) la matriz $C^{40}$
b) la matriz $X$ que verifica $X\cdot A+3\,B=C$

ENUNCIADO.
a)
Observemos que $C^2=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=I$, luego el período es $2$, luego $C^{40}=C^r$, donde $r=\text{residuo}(40\div 2)=0$; por tanto $C^{40}=C^0=I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

b)
$XA+3B=C$
  $XA+3B-3B=C-3B$
    $XA+O=C-3B$
      $XA=C-3B$
        $XAA^{-1}=(C-3B)A^{-1}$
          $XI=(C-3B)A^{-1}$
            $X=(C-3B)A^{-1}$
              $X\overset{(1),(2))}{=}\begin{pmatrix}-4 & -9 \\ -3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-2 \\ -1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&17 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$

-oOo-
Cálculos:

(1)     $C-3B=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}-3\,\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & -9 \\ -3 & 4\end{pmatrix}$

(2)   Cálculo de la matriz inversa de $C$ por el método de Gauss-Jordan: $(A|I) \rightarrow (I|A^{-1}$
$\left(\begin{array}{cc|cc}1&-2&1&0 \\ -1& 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{f_1+f_2\,\rightarrow f_2}{\sim} \left(\begin{array}{cc|cc}1&-2&1&0 \\ 0& -1 & 1 & 1 \end{array}\right)\overset{-2\,f_2+f_1\,\rightarrow f_1}{\sim}$
  $\sim \left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-1&-2 \\ 0& -1 & 1 & 1 \end{array}\right)\overset{-1\,f_2\,\rightarrow f_2}{\sim}\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-1&-2 \\ 0& 1 & -1 & -1 \end{array}\right)$
Así pues $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-2 \\ -1 & -1\end{pmatrix}$$

$\square$