Probabilidad y Estadística. Estimación de la media por intervalos de confianza. Tamaño mínimo de la muestra.

ENUNCIADO. La longitud auricular de la oreja en varones jóvenes, expesada en centímetros, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma=0'6$ centímetros. Una muestra aleatoria simple de $100$ individuos proporcionó una media muestral $\bar{x}=7$ centímetros. Se pide:
a) Calcúlese un intervalo de confianza al $98\,\%$ para la media de la población $\mu$
b) El tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la misma sea de $0'1$ centímetros

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "longitud auricular". Sabemos que $X$ sigue la distribución normal $N(\mu\,,\,0'6)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=7$ centímetros y $E$ es el máximo error cometido en la estimación de la media poblacional, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'98$, entonces $\alpha=0'02$ y por tanto $\alpha/2=0'01$; con lo cual podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'01=0'99$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} = 2'33$

Así pues, $E=2'33\cdot \dfrac{0'6}{\sqrt{100}}=0'1398$ centímetros $\approx 0'2$ centímetros ( aproximando por exceso ), luego el intervalo de confianza pedido es $(7-0'2\,,\,7+0'2)$ esto es $I_{\mu} \sim (6'8\,,\,7'2)$, expresados los valores de los extremos en centímetros.


b)
Si $E_{\text{máx}}:=0'1$, entonces $$0'1=\dfrac{0'6}{\sqrt{n}}\cdot 2'33$$ luego $$n_{\text{mín}}=\left(\dfrac{0'6\cdot 2'33}{0,1}\right)^2\overset{\text{aproximando por exceso}}{\approx}196$$
$\square$