Análisis de funciones

ENUNCIADO. Se considera la función de variable real $$f(x)=\dfrac{x^2-1}{3\,x-2}$$
a) Estúdiense sus asíntotas
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

SOLUCIÓN.
a)
Asíntotas verticales: Tienen la forma $x=k$ donde $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)$. Observemos que el valor que anula el denominador de la función ( y no anula simultáneamente el numerador ) es, precisamente, el valor que tiene que tomar $k$: como $3x-2=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}$, encontramos una sóla asíntota vertical: $$\text{a.v.}\equiv x=\dfrac{2}{3}$$

Asíntotas oblicuas: Desde luego, las asíntotas oblicuas tienen la forma $\text{a.o.}\equiv y=m\,x+k$, y entre ellas, y como caso particular, podemos encontrar también las horizontalales -- en los casos en que la pendiente de la recta $m$ sea $0$ --; procedemos a calcularlas:

En primer lugar, calculamos el valor de m: $\displaystyle m \overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \infty}\,f'(x)\overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2-1}{x\,(3x-2)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2-1}{3x^2-2x}=\dfrac{1}{3}$. Nota: Como entre los valores del límite no encontramos el valor $0$, no hay asíntotas horizontales.

Conocido el valor de la pendiente, ya podemos calcular el valor $k$: $\displaystyle k \overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \infty}\,(f(x)-m\,x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\left( \dfrac{x^2-1}{3x-2}-\dfrac{1}{3}\,x\right)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\left( \dfrac{2x-3}{9x-6}\right)=\dfrac{2}{9}$

Así pues, encontramos una sóla asíntota oblicua $$\text{a.o.}\equiv y=\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{2}{9}$$

b)
Veamos si la función tiene extremos relativos $\{x \in \text{Dom}\,f: f'(x)=0\}$. La función derivada de $f(x)$ resulta ser ( omito los cálculos ) $f'(x)=\dfrac{3x^2-4x+3}{(3x-2)^2}$. Imponiendo la condición necesaria, $f'(x)=0$, llegamos a $$\dfrac{3x^2-4x+3}{(3x-2)^2}=0 \Leftrightarrow 3x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3} \notin \mathbb{R}$$ luego la función $f(x)$ no tiene extremos relativos, luego no tiene máximos y mínimos locales, luego es mónotona; y como $f'(x) \succ 0$ para todo valor de $x$ -- compruébese con cualequier valor, por ejemplo $f'(1)=\dfrac{3\cdot 1^2-4\cdot 1+3}{(3\cdot 1-2)^2}\succ 0$ -- es monótona creciente, esto es, la función es creciente en todo el dominio de existencia $\mathbb{R}\setminus \{\dfrac{2}{3}\}$

$\square$