Cálculo de áreas ( integración ) y análisis del crecimiento/decrecimiento de una función

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $f(x)=x^3-4x^2+3x$
a) Calcúlese el área de la región acotada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y por las rectas $x=0$ y $x=3$
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$

SOLUCIÓN.
a) Al tratarse de un polinomio, el dominio de definición de la función es la totalidad de $\mathbb{R}$ y ésta es continua en todos los puntos. Veamos cuáles son las raíces de $f(x)$:

$0=x^3-4x^2+3x \Leftrightarrow x\,(x^2-4x+3)=0 \Leftrightarrow$
$ \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}0 \\ \\ \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

Entonces, el área pedida viene dada por:
$$\displaystyle |\int_{0}^{1} f(x)\,dx| + |\int_{1}^{3} f(x)\,dx|=|F(1)-F(0)|+|F(3)-F(1)| \quad \quad (1)$$ siendo $F(x)=\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{4}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2$ una función primitiva de $f(x)$. Teniendo en cuenta que $F(0)=0$, $F(1)=\dfrac{5}{12}$ y $F(3)=-\dfrac{9}{4}$, entonces (1) es igual a $|\dfrac{5}{12}-0|+|-\dfrac{9}{4}-\dfrac{5}{12}|=|\dfrac{5}{12}|+|-\dfrac{8}{3}|=$
    $=\dfrac{5}{12}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{37}{12} \; \text{unidades de área}$

b) Veamos cuáles son los máximos y mínimos relativos de $f(x)$. Para ello, impongamos la condición necesaria de existencia de extremos relativos $f'(x)=0$, esto es $3x^2-8x+3=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{4-\sqrt{7}}{3} \\ \dfrac{4+\sqrt{7}}{3} \end{matrix}\right.$

Para averiguar la naturaleza de estos valores, emplearemos el criterio de la segunda derivada:
Como $f''(x)=6x-8$, tenemos que $f''(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})=-2\sqrt{7}\prec 0$, luego la abscisa $\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un máximo local; por otra parte, $f''(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})=2\sqrt{7}\succ 0$, luego la abscisa $\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un mínimo local. Teniendo en cuenta que, por ser un polinomio, la función es continua en todos los puntos, y que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)=-\infty$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,f(x)=+\infty$, deducimos de ello que los intervalos de crecimiento son $(-\infty\,,\,\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$ y $(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$ Por otra parte, hay un sólo intervalo de decrecimiento cuyos extremos inferior y superior corresponden a las abscisas del máximo local y la del mínimo local, respectivamente: $(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}\,,\,\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$

$\square$

Integración de funciones. Cálculo del área del recinto delimitado por dos funciones.