Discútase el sistema en función del parámetro $a$ y, finalmente, resuélvase para un valor fijado del mismo

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ -x&+&3y&+&z&=&1 \\ -x&+&ay&+&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$
a) Discútase para los diferentes valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=1$

SOLUCIÓN.
a)
La primera etapa del proceso de reducción nos lleva a
$$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ -x&+&3y&+&z&=&1 \\ -x&+&ay&+&2z&=&0 \end{matrix}\right\}\overset{e_3-e_1 \rightarrow e_3\,;\,e_2-e_1\rightarrow e_1}{\sim}$$ $$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ &&&&-2z&=&1 \\ &&(a-3)\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right\}$$ De la segunda ecuación obtenemos $z=-\dfrac{1}{2}$, y sustituyendo en la primera y en la tercera llegamos a $$\left.\begin{matrix}x&-&3y&=&\dfrac{3}{2} \\ &&(a-3)\,y&=&-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right\}$$ De la segunda ecuación vemos que si $a=3$, entonces llegamos a una contradicción $0=-\dfrac{1}{2}$; con lo cual, para $a=3$ el sistema es incompatible. Y en el caso de que $a\neq 3$, el sistema es compatible determinado, ya que el rango ( del sistema ) es $3$, que es igual al número de incógnitas.

b)
Si $a$ toma el valor $1$ el sistema es compatible determinado, pues $1\neq 3$. Habrá que resolver pues el sistema $$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ &&&&-2z&=&1 \\ &&-2\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right\}$$ Ya sabemos ( despejando de la segunda ecuación ) que $z=-\dfrac{1}{2}$; así que, sustituyendo este valor en las ecuaciones primera y tercera, llegamos a $$\left.\begin{matrix}x&-&3y&=&\dfrac{3}{2} \\ &&2\,y&=&\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right\}$$ luego, de la segunda, obtenemos $$y=\dfrac{1}{4}$$ Y sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, encontramos $$-x=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}$$ esto es $$x=-\dfrac{3}{4}$$
$\square$