Cálculo de límites de función. Análisis de funciones.

ENUNCIADO. Considérese la función real de una variable real.: $$f(x)=x^3-3\,x$$ a) Calcúlense los siguientes límites: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{f(x)}{1-x^3}$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x)}{x}$
b) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$

SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{f(x)}{1-x^3}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x^3-3\,x}{1-x^3}\overset{\text{indet. del tipo}\dfrac{\infty}{\infty}}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{\dfrac{x^3}{x^3}-3\,\dfrac{x}{x^3}}{\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{x^3}{x^3}}=$

  $=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\, \dfrac{1-3\,\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x^3}-1}=\dfrac{1-\dfrac{3}{\infty}}{\dfrac{1}{\infty}-1}=\dfrac{1-0}{0-1}=-1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{x^3-3\,x}{x}\overset{\text{indet. del tipo} \dfrac{0}{0}}{=}\lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{f(x)}{x}\overset{x^3-3\,x=x\,(x^2-3)}{=}$
  $=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{x\,(x^2-3)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\,x^2-3=0-3=-3$

b)
Observemos que al ser $f(x)$ un polinomio, $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}$ y $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$; por otra parte, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,f(x)=+\infty$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)=-\infty$

Procedemos a calcular las abscisas de los máximos y mínimos locales, imponiendo la condición necesaria $f'(x)=0$. Derivando $f(x)$, obtenemos $f'(x)=3\,(x^2-3)=3\,(x^2-1)$, luego $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\pm\,1$.

Veamos ahora la naturaleza de dichos extremos relativos mediante el criterio de la segunda derivada. Derivando $f'(x)$, obtenemos $f''(x)=6x$. Entonces, como $f''(-1)=-6\prec 0$, vemos que $-1$ corresponde a la abscisa de un máximo local; y, por otra parte, como $f''(1)=6 \succ 0$, deducimos que $1$ es la abscisa de un mínimo local.

De todo ello llegamos a la siguiente conclusión. Hay dos intervalos de crecimiento: $I_{1}^{\uparrow}=(-\infty\,,\,-1) \subset \mathbb{R}$ y $I_{3}^{\uparrow}=(1\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$, y un intervalo de decrecimiento $I_{2}^{\downarrow}=(-1\,,\,1) \subset \mathbb{R}$

$\square$