Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$: $$\left\{\begin{matrix}x&-&a\,y&+&2\,z&=&0 \\ a\,x&-&4\,y&-&4\,z&=&0 \\ (2-a)\,x&+&3\,y&-&2\,z&=&0\end{matrix}\right.$$
a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=3$

SOLUCIÓN.
a) Para discutir el sistema, recurrimos al Teorema de Rouché-Fröbenius.

Avancemos, sin embargo que, al tratarse de un sistema homogéneo, éste no puede ser incompatible, puesto que los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz de los coeficiente ampliada con el vector de los términos independientes ( vector nulo en este caso ) son iguales; así que el sistema ha de ser compatible determinado ( cuya única solución, aquí, es la trivial: $x=y=z=0$ ), o bien compatible indeterminado. Veámoslo en función de los valores del parámetro $a$.

El rango de la matriz de los coeficiente $\begin{pmatrix}1&-a&2\\ a&-4&-4\\ 2-a&3&-2\end{pmatrix}$ es mayor o igual que $2$ ya que encontramos un menor de orden $2$ no nulo: $\begin{vmatrix}-4&-4 \\3&-2\end{vmatrix}=20\neq 0$

Veamos ahora para qué valores de $a$ se anula el menor de orden $3$
$$\begin{vmatrix}1&-a&2\\ a&-4&-4\\ 2-a&3&-2\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a^2-a-6=0\Leftrightarrow a=\left\{\begin{matrix}-2 \\ 3 \end{matrix}\right.$$

De ello, podemos distinguir los siguientes casos:

i) Si $a$ toma el valor $-2$ o bien el valor $3$, el rango, $r$, de la matriz de los coeficientes no es $3$, y, por tanto, según lo dicho arriba, es $2$. Luego, de acuerdo con el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r$ variables secundarias ( $n$ representa el número de incógnitas del sistema ), esto es, con $3-2=1$ variable secundaria

ii) Para cualquier otro valor que tome $a$ ( distinto de $-2$ y de $3$ ), el rango, $r$, de la matriz de los coeficientes es $3$ ( el menor de orden $3$ no se anulará ). Con lo cual, y de acuerdo con el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado ( las tres variables son principales ), la única solución es la trivial $(0,0,0)$

b)
Si $a=3$ nos encontramos en el caso (i) y por tanto el sistema es incompatible indeterminado con $1$ variable secundaria y $2$ variables principales. En este caso el sistema es $$\left\{\begin{matrix}x&-&3\,y&+&2\,z&=&0 \\ 3\,x&-&4\,y&-&4\,z&=&0 \\ -x&+&3\,y&-&2\,z&=&0\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&-&3\,y&+&2\,z&=&0 \\ 3\,x&-&4\,y&-&4\,z&=&0 \end{matrix}\right.$$ por ser la tercera ecuación idéntica a la primera.

Eligiendo $z$ como variable secundaria ( $z=\lambda$ ) podemos escribir el sistema de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&-&3\,y&=&-2\,\lambda \\ 3\,x&-&4\,y&=&4\,\lambda \end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $-3$ la primera ( miembro a miembro ) y sumándola ( miembro a miembro ) a la segunda, llegamos a la ecuación equivalente $$5\,y=10\,\lambda$$ luego $$y=2\,\lambda$$ Y sustituyendo en la primera, encontramos $$x=4\,\lambda$$

Así pues la solución viene dada por el conjunto infinito de $3$-tuplas: $$\{(4\,\lambda\,,\,2\,\lambda\,,\,\lambda):\, \lambda \in \mathbb{R}\}$$ que puede también escribirse así $$\{\lambda\,(4\,,\,2\,,\,1): \, \lambda \in \mathbb{R}\}$$

$\square$