Un ejercicio sobre continuidad y derivabilidad. Determinación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}5x+1&\text{si}&x\le 0 \\ x^2+5x+1&\text{si}&x > 0\end{matrix}\right.$$
a) Determínese si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=3$

SOLUCIÓN.
a)
Para que una función sea derivable en un punto de su dominio de definición ésta ha de ser continua en dicho punto, además debe existir el límite con el que se define la derivada de la función en dicho punto. Veamos si se cumplen estas condiciones.

La función $f(x)$ es continua en $x=0$ pues la función está definida en $x=0$ y es igual a $f(0)=5\cdot 0+1=1$, y los límites por la izquierda y por la derecha existen y sus valores coinciden (existe el límite en el punto $x=0$) y son iguales a $f(0)=1$; en efecto,
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)=5\cdot 0+1=1$
y
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x)=c^2+5\cdot 0+1=1$
con lo cual $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,f(x)=1=f(0)$

Por otra parte los límites que definen las derivadas por la izquierda y por la derecha existen y coinciden en su valor ( que es el valor de la derivada en $x=0$ ): $((5x+1)')|_{x=0}=5$ y $((x^2+5x+1)')|_{x=0}=((2x+5))|_{x=0}=2\cdot 0+5=5$, luego la función $f(x)$ es derivable en $x=0$ y su derivada en ese punto es $5$.

b)
En $x=3$ podemos determinar la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ pues el tramo que corresponde a ese punto es continuo y derivable ( por ser un polinomio de segundo grado ). Sea la ecuación en forma explícita de la recta tangente $t:y=mx+k$ en dicho punto. Vamos a determinar los valores de los coeficientes $m$ ( pendiente de la recta ) y $k$ ( ordenada en el origen ).

$m\overset{\text{def}}{=}f'(3)=((x^2+5x+1)')|_{x=3}=(2x+5)|_{x=3}=2\cdot 3+5=11$, con lo cual podemos escribir $t:y=11\,x+k$, veamos ahora, cuál es el valor de $k$: como en $x=3$ se tiene que cumplir que $f(3)=(11\,x+k)_{x=3}$, vemos que $f(3)=11\cdot 3 +k$, luego $k=f(3)-33$, esto es, $k=(3^2+5\cdot 3+1)-33=-8$. Así concluimos que la ecuación de la recta tangente pedida es $t:y=11\,x-8$
$\square$