Cálculo de probabilidades. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. Una empresa fabrica dos modelos de ordenadores portátiles $A$ y $B$, siendo la producción del modelo $A$ el doble que la del modelo $B$. Se sabe que la probabilidad de que un ordenador portátil del modelo $A$ salga defectuoso es de $0'02$, mientras que esa probabilidad en el modelo $B$ es de $0'06$. Calcúlese la probabilidad de que un ordenador fabricado por dicha empresa elegido al azar:
a) No salga defectuoso
b) Sea del modelo $A$, si se sabe que ha salido defectuoso

SOLUCIÓN.
Denotemos por $A$ al suceso "elegir un ordenador fabricado por esa empresa que sea del modelo $\mathcal{A}$", y por $B$ al suceso "elegir un ordenador del modelo $\mathcal{B}$"; denotemos por $D$ al suceso "elegir un ordenador defectuoso".

a) Los sucesos $A$ y $B$ constituyen una partición del espacio muestral $\Omega$, luego, por el teorema de la probabilidad total, podemos escribir que $$P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)\quad \quad (1)$$

Del enunciado, sabemos que $P(D|A)=0'02$ y $P(D|B)=0'06$. Por otra parte, y de acuerdo también con la información del enunciado, $P(A)=\dfrac{2\,n_B}{2\,n_B+n_B}=\dfrac{2}{3}$ y $P(B)=\dfrac{n_B}{2\,n_B+n_B}=\dfrac{1}{3}$, donde $n_B$ representa el número de ordenadores fabricados del modelo $\mathcal{B}$ y $2\,n_B$ el número de ordenadores fabricados del modelo $\mathcal{A}$. Por consiguiente, de (1), llegamos al siguiente resultado $$P(D)=\dfrac{2}{100}\cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{100}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{30}$$ con lo cual, la probabilidad de que el ordenador elegido al azar no salga defectuoso es $$P\bar{D}=1-\dfrac{1}{30}=\dfrac{29}{30}$$

b)
De acuerdo con el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(A|D)=\dfrac{P(D|A)P(A)}{P(D)}$$ esto es $$P(A|D)=\dfrac{(2/100)\cdot (2/3)}{1/30}=\dfrac{2}{5}$$

$\square$