Probabilidad y Estadística. Intervalos de confianza. Distribución de la media muestral.

ENUNCIADO. El tiempo, en horas, que tarda cierta compañía telefónica en hacer efectiva la portabilidad de un número de teléfonos se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma=24$ horas. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $16$. Calcúlese:
a) La probabilidad de que la media muestral del tiempo, $\bar{X}$, supere las $48$ horas, si $\mu=36$ horas
b) El nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo $(24'24\,,\,47'76)$ para $\mu$

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $\bar{X}$ a la variable muestral "tiempo necesario en hacer efectiva la portabilidad". Por el Teorema Central del Límite, sabemos que $\bar{X} \sim N\left(\mu\,,\,\dfrac{24}{\sqrt{16}}\right)$, esto es $\bar{X} \sim N(\mu\,,\,6)$

a)
Si $\mu=36$ horas, tenemos que $P\{\bar{X} \ge 48\}=P\{Z \ge \dfrac{48-36}{6}\}=P\{Z\ge 2\}$
    $=1-P\{Z\le 2\}=1-0'9772=0'0228$

b) El intervalo de confianza para la estimación de $\mu$ se define como $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E$ es el máximo error de la estimación y es igual a $z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Teniendo en cuenta que el intervalo que viene como dato es $(24'24\,,\,47'76)$, deducimos que $2\,E=47'76-24'24=23'52$, luego $E=\dfrac{23'52}{2}=11'76$. En consecuencia, $11'76=z_{\alpha/2}\,\dfrac{24}{\sqrt{16}}$ y por tanto $z_{\alpha/2}=1'96$, así que, consultando las tablas de la función de distribución $N(0,1)$, vemos que $P\{Z\le 1'96\}=0'9750 \Rightarrow \alpha/2=1-0'9750=0'025$, luego $\alpha=2\cdot 0'025=0'05$. Así pues, el nivel de confianza $1-\alpha$ es igual a $1-0'05=0'95$, esto es, de $95\,\%$

$\square$