Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$ $$\left\{\begin{matrix}x&-&2\,y&-&z&=&&-2 \\ -2\,x&&&-&a\,z&=&&2 \\ &&y&+&a\,z&=&&-2 \end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=4$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $\left(\begin{array}{ccc|c} 1&-2&-1&-2 \\ -2 & 0 & -a & 2 \\ 0 & 1 & a & -2 \end{array}\right) \overset{2\,f_1+f_2\,\rightarrow f_2}{\sim}$
  $\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-2&-1&-2 \\ 0 & -4 & -2-a & -2 \\ 0 & 1 & a & -2 \end{array}\right) \overset{4\,f_3+f_2\,\rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-2&-1&-2 \\ 0 & -4 & -2-a & -2 \\ 0 & 0 & -2+3a & -10 \end{array}\right)$
Habiéndola reducido por Gauss, ya podemos realizar el análisis de rangos ( teorema de Rouché-Fröbenius):
i) Si $a=\dfrac{2}{3}$ el rango de la matriz de los coeficientes es $2$, pero el de la matriz de los coeficientes ampliada es $3$; por tanto, como los rangos no coinciden el sistema es incompatible para dicho valor de $a$
ii) Para cualquier valor de $a$ distinto de $\dfrac{2}{3}$, los rangos de las dos matrices coinciden y son iguales a $3$; y, como este valor del rango es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

b)
Por lo dicho arriba, si $a:=4\neq \dfrac{2}{3}$ el sistema es compatible determinado. Veamos cuál es la solución.
$$\left\{\begin{matrix}x&-&2\,y&-&z&=&-2 \\ -2\,x&&&-&4\,z&=&2 \\ &&y&+&4\,z&=&-2 \end{matrix}\right.$$ Y, como ya tenemos reducida la matriz ampliada, un sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}x&-&2\,y&-&z&=&-2 \\ &&-4\,y&-&6\,z&=&-2 \\ &&&&10\,z&=&-10 \end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x&-&2\,y&-&z&=&&-2 \\ &&2\,y&+&3\,z&=&&1 \\ &&&&z&=&&-1 \end{matrix}\right.$$

Despejando $z$ de la última ecuación y sustituyendo lo obtenido en la segunda ecuación para, a su vez, despejar $y$; y, finalmente, sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos:
$$\left\{\begin{matrix}x&&&&&=&1 \\ &&y&&&=&2 \\ &&&&z&=&-1 \end{matrix}\right.$$
$\square$