Probabilidad y Estadística. Intervalos de confianza. Estimación de la media de una población por intervalos de confianza.

ENUNCIADO. La masa ( en kilogramos ) de los corderos de un rebaño, a las seis semanas de su nacimiento, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica, $\sigma$, igual a $0'9$ kilogramos.

a) Se tomó una muestra aleatoria simple de $324$ corderos y la masa media observada fue $\bar{x}=7'8$ kilogramos. Obténgase un intervalo de confianza con un nivel ( de confianza ) del $99'2\,\%$ para la estimación de $\mu$

b) Determínese el tamaño mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza para $\mu$ al $95\,\%$ ( de confianza ) tenga una amplitud a lo sumo de $0'2$ kilogramos.

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "masa de un cordero". Sabemos que $X$ sigue la distribución normal $N(\mu\,,\,0'9)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=7'8$ kilogramos y $E$ es el máximo error cometido en la estimación, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'992$, entonces $\alpha=0'008$ y por tanto $\alpha/2=0'004$; con lo cual podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'004=0'996$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} = 2'65$

Así pues, $E=2'65\cdot \dfrac{0'9}{\sqrt{324}}=0'1325$ kilogramos $\approx 0'13$ kilogramos, luego el intervalo de confianza pedido es $(7'8-0'13\,,\,7'8+0'13)$ esto es $I_{\mu} \sim (7'7\,,\,7'9)$, expresados los valores de los extremos en kilogramos.

b)
Si suponemos que el nivel de confianza es, ahora, del $95\,\%$, $1-\alpha=0'95$, podemos escribir $\alpha=0'05$ y por tanto $\alpha/2=0'025$, con lo cual $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'025=0'975$, y consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} = 1'96$

Con todo esto, podemos calcular el valor mínimo de $n$, ya que si $E=0'2$ kilogramos, entonces $0'2=1'96 \cdot \dfrac{0'9}{\sqrt{n}}$, de donde se desprende que el valor (mínimo) de $n$ es igual a $(\dfrac{0'9\cdot 1'96}{0'2})^2 = 78$

$\square$