Estimación de la media por intervalo de confianza

La producción diaria de cemento, media en toneladas, de una factoría cementera se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=9$ toneladas.
a) Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$ tenga una amplitud a lo sumo de $2$ toneladas
b) Se toman los datos de producción de $16$ días escogidos al azar. Calcúlese la probabilidad de que la media de las producciones obtenidas, $\bar{X}$, sea menor o igual que $197,5$ toneladas si sabemos que $\mu=202$ toneladas

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población "masa de la producción diaria". Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,9)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=2$ toneladas y $E$ la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ), y viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'95$, entonces $\alpha=0'05$ y por tanto $\alpha/2=0'025$; podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'025=0'975$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} \approx 1'96$

Con todo esto, podemos calcular el valor mínimo de $n$, ya que si $E=2$, entonces $2=1'96 \cdot \dfrac{9}{\sqrt{n}}$, de donde se desprende que el valor (mínimo) de $n$ es igual a $n \ge (\dfrac{9\cdot 1'96}{2})^2 = 78$

b)
Procedemos a calcular ahora $P\{\bar{X}\} \le 197'5$, teniendo en cuenta que, por el Teorema del Límite Central, $\bar{X}$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$. Disponemos de los siguientes datos: $\mu=202$ toneladas ( media de la población ), y $n=16$ días ( tamaño de la muestra ).

$P\{\bar{X}\le 197'5\}\overset{\text{tipificando la variable}}{=}P\{Z\le-2\}=P\{Z\ge 2 \}=1-P\{Z \prec 2\}=$
    $\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}1-0'9772=0'0228$
$\square$