ENUNCIADO. La longitud auricular de la oreja en varones jóvenes, expesada en centímetros, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma=0'6$ centímetros. Una muestra aleatoria simple de $100$ individuos proporcionó una media muestral $\bar{x}=7$ centímetros. Se pide:
a) Calcúlese un intervalo de confianza al $98\,\%$ para la media de la población $\mu$
b) El tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la misma sea de $0'1$ centímetros
SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "longitud auricular". Sabemos que $X$ sigue la distribución normal $N(\mu\,,\,0'6)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=7$ centímetros y $E$ es el máximo error cometido en la estimación de la media poblacional, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'98$, entonces $\alpha=0'02$ y por tanto $\alpha/2=0'01$; con lo cual podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'01=0'99$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} = 2'33$
Así pues, $E=2'33\cdot \dfrac{0'6}{\sqrt{100}}=0'1398$ centímetros $\approx 0'2$ centímetros ( aproximando por exceso ), luego el intervalo de confianza pedido es $(7-0'2\,,\,7+0'2)$ esto es $I_{\mu} \sim (6'8\,,\,7'2)$, expresados los valores de los extremos en centímetros.
b)
Si $E_{\text{máx}}:=0'1$, entonces $$0'1=\dfrac{0'6}{\sqrt{n}}\cdot 2'33$$ luego $$n_{\text{mín}}=\left(\dfrac{0'6\cdot 2'33}{0,1}\right)^2\overset{\text{aproximando por exceso}}{\approx}196$$
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martes, 26 de septiembre de 2017
martes, 13 de mayo de 2014
En el supueto de que, en una determinada ciudad, la variable aleatoria número de días de duración de un contrato laboral siga una distribución aproximadamente normal, de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=57$ días, ¿ cuál es el número mínimo de contratos que debemos examinar para que el intervalo de confianza, al $95\,\%$ de confianza, con el que estimamos la media poblacional, $\mu$, de dicha variable aleatoria tenga una amplitud inferior a $10$ días ?.
Enunciado:
En el supueto de que, en una determinada ciudad, la variable aleatoria número de días de duración de un contrato laboral siga una distribución aproximadamente normal, de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=57$ días, ¿ cuál es el número mínimo de contratos que debemos examinar para que el intervalo de confianza, al $95\,\%$ de confianza, con el que estimamos la media poblacional, $\mu$, de dicha variable aleatoria tenga una amplitud inferior a $10$ días ?.
Resolución:
Siendo el intervalo de confianza $I_{\mu}=[\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E]$ donde $E=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, y siendo $2\,E \prec 10$, se cumple que $2\cdot z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \prec 10$, y, teniendo en cuenta que el valor de la abscisa $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}$ tal que $P\{Z \ge z_{\alpha/2}\}=\dfrac{1-0'95}{2}=0'025$ y, por tanto, siendo $P\{Z \le z_{0'025}\}=F(z_{0'025})=1-0'025=0'975$ encontramos ( tablas de la función de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ ) que $z_{0'025}=1'96$. Luego, con este valor y los datos del problema,
$1,96 \cdot \dfrac{57}{\sqrt{n}} \prec 5 \Rightarrow n \succ \big( \dfrac{1'96 \cdot 57} {5}\big)^2=500$, o sea, $n \succ 500$
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En el supueto de que, en una determinada ciudad, la variable aleatoria número de días de duración de un contrato laboral siga una distribución aproximadamente normal, de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=57$ días, ¿ cuál es el número mínimo de contratos que debemos examinar para que el intervalo de confianza, al $95\,\%$ de confianza, con el que estimamos la media poblacional, $\mu$, de dicha variable aleatoria tenga una amplitud inferior a $10$ días ?.
Resolución:
Siendo el intervalo de confianza $I_{\mu}=[\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E]$ donde $E=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, y siendo $2\,E \prec 10$, se cumple que $2\cdot z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \prec 10$, y, teniendo en cuenta que el valor de la abscisa $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}$ tal que $P\{Z \ge z_{\alpha/2}\}=\dfrac{1-0'95}{2}=0'025$ y, por tanto, siendo $P\{Z \le z_{0'025}\}=F(z_{0'025})=1-0'025=0'975$ encontramos ( tablas de la función de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ ) que $z_{0'025}=1'96$. Luego, con este valor y los datos del problema,
$1,96 \cdot \dfrac{57}{\sqrt{n}} \prec 5 \Rightarrow n \succ \big( \dfrac{1'96 \cdot 57} {5}\big)^2=500$, o sea, $n \succ 500$
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